Exercício - Série de Potência
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Exercício - Série de Potência
por Handrix Sex 21 Nov 2014, 16:57
Seja a função 
.
a) Represente a função
por uma série de potência de 
. Identifique o intervalo onde a representação é válida.
b) Derivando a série obtida na letra (a), represente a função
por uma série de potências de .
a) Represente a função
b) Derivando a série obtida na letra (a), represente a função
Handrix- Jedi
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Re: Exercício - Série de Potência
por Man Utd Sáb 22 Nov 2014, 13:34
Olá 
Veja este link sobre a Série de Taylor ,logo:
A)
=\sum_{n=0}^{+\infty}&space;\;&space;\frac{f^{(n)}(x_{0})(x-x_{0})^{n}}{n!}&space;\\\\\\&space;\frac{-2}{x-3}=&space;\sum_{n=0}^{+\infty}&space;\;&space;\frac{f^{(n)}(1)(x-1)^{n}}{n!}&space;\\\\\\&space;\frac{-2}{x-3}=&space;\sum_{n=0}^{+\infty}&space;\;&space;\frac{f^{(n)}(1)(x-1)^{n}}{n!}=1+\frac{(x-1)}{2}+\frac{(x-1)^{2}}{2}+\frac{(x-1)^3}{8}+&space;\cdots&space;\\\\\\&space;\frac{-2}{x-3}=&space;1+\frac{(x-1)}{2}+\frac{(x-1)^{2}}{2}+\frac{(x-1)^3}{8}+&space;\cdots=\sum_{n=0}^{+\infty}&space;\;&space;\frac{(x-1)^{n}}{2^{n}} "\\\\\\ f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} \; \frac{f^{(n)}(x_{0})(x-x_{0})^{n}}{n!} \\\\\\ \frac{-2}{x-3}= \sum_{n=0}^{+\infty} \; \frac{f^{(n)}(1)(x-1)^{n}}{n!} \\\\\\ \frac{-2}{x-3}= \sum_{n=0}^{+\infty} \; \frac{f^{(n)}(1)(x-1)^{n}}{n!}=1+\frac{(x-1)}{2}+\frac{(x-1)^{2}}{2}+\frac{(x-1)^3}{8}+ \cdots \\\\\\ \frac{-2}{x-3}= 1+\frac{(x-1)}{2}+\frac{(x-1)^{2}}{2}+\frac{(x-1)^3}{8}+ \cdots=\sum_{n=0}^{+\infty} \; \frac{(x-1)^{n}}{2^{n}}")
Para ser saber onde é válida tens q aplicar o teste da razão:
^{n+1}}{2^{n+1}}}{\frac{(x-1)^{n}}{2^{n}}}&space;\right|&space;\\\\\\&space;L=\frac{|x-1|}{2}\lim_{n&space;\to&space;+\infty}&space;\;&space;1&space;\\\\\\&space;L=\frac{|x-1|}{2}&space;\\\\\\&space;\text{Devemos&space;ter&space;L}<1 "\\\\\\ L=\lim_{n \to +\infty} \; \left| \frac{\frac{(x-1)^{n+1}}{2^{n+1}}}{\frac{(x-1)^{n}}{2^{n}}} \right| \\\\\\ L=\frac{|x-1|}{2}\lim_{n \to +\infty} \; 1 \\\\\\ L=\frac{|x-1|}{2} \\\\\\ \text{Devemos ter L}<1")
Agora bastar analisar os extremos :
para x=-1 :
para x=3 :
Logo o intervalo de representação é [-1,3[
B)
^{n}}{2^{n}}&space;\\\\\\&space;\left(-\frac{2}{x-3}&space;\right)^{\prime}=&space;\left(&space;\sum_{n=0}^{+\infty}&space;\;&space;\frac{(x-1)^{n}}{2^{n}}&space;\right)^{\prime}&space;\\\\\\&space;\frac{2}{(x-3)^2}=&space;\sum_{n=1}^{+\infty}&space;\;&space;\frac{n(x-1)^{n-1}}{2^{n}}&space;\\\\\\&space;\frac{1}{(x-3)^2}=&space;\sum_{n=1}^{+\infty}&space;\;&space;\frac{n(x-1)^{n-1}}{2^{n+1}} "\\\\ -\frac{2}{x-3}=\sum_{n=0}^{+\infty} \; \frac{(x-1)^{n}}{2^{n}} \\\\\\ \left(-\frac{2}{x-3} \right)^{\prime}= \left( \sum_{n=0}^{+\infty} \; \frac{(x-1)^{n}}{2^{n}} \right)^{\prime} \\\\\\ \frac{2}{(x-3)^2}= \sum_{n=1}^{+\infty} \; \frac{n(x-1)^{n-1}}{2^{n}} \\\\\\ \frac{1}{(x-3)^2}= \sum_{n=1}^{+\infty} \; \frac{n(x-1)^{n-1}}{2^{n+1}}")
Veja este link sobre a Série de Taylor ,logo:
A)
Para ser saber onde é válida tens q aplicar o teste da razão:
Agora bastar analisar os extremos :
para x=-1 :
para x=3 :
Logo o intervalo de representação é [-1,3[
B)
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