Semelhança de triângulos

Podem resolver essa questão por semelhança de triângulos?  Obrigado.


Calcular a distância entre a instersecção das diagonais e a base maior num trapézio cujas bases e altura vale, respectivamente, 6 cm, 12 cm e 9 cm.


Gabarito: 6 cm (não sei se está certo, teve alguns gabarito errado).

Triângulos CDE e EAB são semelhantes. A razão de semelhança é 1:2 (pois as bases são 6 e 12)
Como x e 9 - x são alturas homólogas: 2 . x = 9-x ---> x = 3
A questão pede 9 - x = 9 - 3 = 6

Um desenho mais proporcional:

A altura do trapezio ela sempre ira passar no ponto em que as diagonais do trapézio se interceptam?  Como você viu que  esses 2 triângulos eles são semelhantes?

1) desenhamos a altura pelo ponto de concorrência das diagonais para facilitar a exposição e visualização, ou seja, a explicação.

2) ângulos alternos internos em uma transversal que cruza duas paralelas. Caso de semelhança de triângulos: dois ângulos iguais.

mestre não entendi a sua explicação para a minha dúvida (1). A altura ela passou pelo ponto de intersecção das diagonais apenas para melhorar a visualização?  isso não é nenhuma propriedade de que a altura tem que passar pelo ponto de encontro das diagonais né?

b)se o triângulo CDE e EAB que são congruentes então a proporção deveria ser feita com os lado desses 2 triângulos , o que tem a vê pega os valores  da altura deles?  não entendi a conta dele e nem pq ele usou os valores da altura.  a resposta seria essa: Em semelhancia de triângulo todos os segmentos correspondentes são proporcionais?

Considerem que o trapézio seja isósceles AB = 12 CD = 6

Por C e D tracem perpendiculares a AB nos pontos C' e D'

C'D' = CD = 6 ---> AD' = BC' = 3

Trace as diagonais AC e BD e seja P(xP, yP)  o ponto de encontro delas

Seja um sistema xOY com origem A(0, 0) e os pontos C'(9, 0) e C(9, 9)

Equação da reta AC = ---> y = x

xP = A'D + C'D'/2 ---> xP = 3 + 6/2 ---> xP = 6

y = x ---> yP = xP ---> yP = 6 --> yP é a distância de P a AB

A altura parte dos pontos das bases menores. Eu transportei a altura (posso fazer isso porque as bases são paralelas) para que passasse pelo ponto de encontro das diagonais.




Os triângulos têm ângulos O.P.V e alternos internos (bases paralelas) --> logo, critério AAA

brasileiro1 escreveu:mestre não entendi a sua explicação para a minha dúvida (1). A altura ela passou pelo ponto de intersecção das diagonais apenas para melhorar a visualização?  isso não é nenhuma propriedade de que a altura tem que passar pelo ponto de encontro das diagonais né?

b)se o triângulo CDE e EAB que são congruentes então a proporção deveria ser feita com os lado desses 2 triângulos , o que tem a vê pega os valores  da altura deles?  não entendi a conta dele e nem pq ele usou os valores da altura.  a resposta seria essa: Em semelhancia de triângulo todos os segmentos correspondentes são proporcionais?

1) Os triângulo CDE e EAB são SEMELHANTES
2) O ângulo que enxerga o segmento de 6 cm no triângulo CDE é o mesmo que enxerga o segmento de 12 cm no EAB. Como são semelhantes, a razão é de 6:12 = 1:2
3) Como o lado de um é o dobro do outro, o mesmo ocorre com as alturas, isto é, a altura do EAB é o dobro da altura do CDE.

brasileiro1 escreveu:mestre não entendi a sua explicação para a minha dúvida (1). A altura ela passou pelo ponto de intersecção das diagonais apenas para melhorar a visualização?  isso não é nenhuma propriedade de que a altura tem que passar pelo ponto de encontro das diagonais né?

b)se o triângulo CDE e EAB que são congruentes então a proporção deveria ser feita com os lado desses 2 triângulos , o que tem a vê pega os valores  da altura deles?  não entendi a conta dele e nem pq ele usou os valores da altura.  a resposta seria essa: Em semelhancia de triângulo todos os segmentos correspondentes são proporcionais?

Companheiro,
a) não fui feliz ao me expressar anteriormente. A altura de um triângulo é sempre a medida tomada perpendicularmente à base e que  vai desta até o vértice oposto. No caso em tela, a altura deve obrigatoriamente ir até o encontro das diagonais. Mas podemos ou não desenhar tal segmento; e podemos também indica-lo ao lado da figura.

b) propriedade: "se duas figuras são semelhantes à razão k, suas medidas homólogas obedecem à mesma razão". Ou seja, vale para lados homólogos e também para alturas homólogas.