Área de Região Sombreada

por diolinho Dom 16 Nov 2014, 12:58

Na figura, AB é diâmetro da circunferência, cujo raio mede 6, e PB e PC são tangentes a ela.

Área de Região Sombreada 21o9cvp

Se A(B)C = 30°, calcule a área da região sombreada.

Resposta: 12(3√3 - π)

por **Elcioschin** Dom 16 Nov 2014, 13:01

arco AC = 60º

arco ACB = 180º --->arco BC = 180º - 60º = 120º

O = ponto médio de AB

BÔC = 120º

Complete

por diolinho Dom 16 Nov 2014, 13:13

Elcio,

Por suas indicações, o triângulo BCP é equilátero.
Seja l o lado do triângulo BCP: cos 30º = l/12 --> l = 6√3.

Então, a área pedida será a área de BCP menos a área do segmento circular determinado pelo arco menor BC.

A área de BCP é (6√3)²√3/4 = 27√3. O problema é calcular a área do segmento circular...

por **ivomilton** Dom 16 Nov 2014, 13:49

/Elcioschin escreveu:arco AC = 60º

arco ACB = 180º --->arco BC = 180º - 60º = 120º

O = ponto médio de AB

BÔC = 120º

Complete

Bom domingo para ambos,

Com ^ABC = 30°, então ^CBP = 60° (complementar para o ^reto da tangente)
Igualmente do outro lado, ^BCP = 60°, donde se deduz que ^BPC também mede 60° e assim o triângulo BPC é equilátero.

Por sua vez, se traçarmos OP, teremos o triângulo retângulo OBP, em que:
OB = 6
OB/OP = sen 30º
6/OP = 1/2
OP = 12

Aplicando-se Pitágoras ao triângulo OBP, encontramos que:
BP = 6Ѵ3

Logo,
BP = BC = PC = 6Ѵ3
SΔBPC = l²Ѵ3/4 = (6Ѵ3)².Ѵ3/4 = 27Ѵ3

^BOC = 120°
S(setor circ. BOC) = Пr²/3 = П.6²/3 = 12П
S(ΔBOC) = b.h/2 = 6Ѵ3 . 3/2 = 9Ѵ3

S(segmento circular) = S(setor BOC - SΔBOC) = 12П - 9Ѵ3

S(área sombreada do ΔBPC) = 27Ѵ3 - (12П - 9Ѵ3) = 36Ѵ3 - 12П = 12(3Ѵ3 - П)

Um abraço.

por diolinho Dom 16 Nov 2014, 14:39

Obrigado Ivo, sua solução foi muito elegante!

por **Medeiros** Dom 16 Nov 2014, 14:40

por **raimundo pereira** Dom 16 Nov 2014, 14:49

Medeiros :bball: , gostei da caneta . Dez!
Mais um modo;
Se OB=6, , AP=12 e BP=6V3........(OBP triâng. ret.30/60/90).
àrea pedida= 2. área do triâng. OBP - 2 . área do setor circular de âng. 60(pi/3) e raio=6.

por **Medeiros** Dom 16 Nov 2014, 15:14

Raimundo,
acho que não deixei bem claro quando respondi ao Ashitaka. Estou usando um tablet note e a caneta vem com ele.
Mas agora me vem à lembrança de, lá nos idos dos anos 90', ter lido sobre uma caneta (e respectivo software que vinha junto) que permitia escrever sobre as antigas telas CRT -- mas jamais tive tal dispositivo vis-a-vis.

por **raimundo pereira** Dom 16 Nov 2014, 15:35

Ótima ferramenta.

Área de Região Sombreada 2hykm82

por **Medeiros** Dom 16 Nov 2014, 16:09

É ... estou com uma trapizonga dessas e ainda não sei mexer direito, nem o Manual li por completo.
Apenas dois detalhes quanto a esse texto laudatório: (1) nada sei, ainda, sobre esse fala-escreve citado -- parece coisa orweliana, sô! ; (2) o "dá pra abrir 2 coisas ao mesmo tempo" é nos anteriores de 10", o meu permite trabalhar com 4 janelas simultâneas na tela.