Polinômio de 3º grau

*Agradeço a ajuda desde já

(UFVJM) Se p(x) é um polinômio de grau 3 com coeficientes reais, tal que p(1)=p(2)=p(3)=1 e p(4)=7, determine o valor de p(5).
Gabarito: ''25''

Olá.

Seja q(x) = p(x) - 1

Ora, se p(1) = p(2) = p(3) = 1, então: q(1) = q(2) = q(3) = (1-1) = 0 e q(4) = 7-1 = 6.

Assim, 1,2 e 3 são raízes de q(x) e q(4) = 6. Do Teorema Fundamental da Álgebra, sabemos que podemos fatorar um polinômio utilizando as suas raízes. Assim, podemos falar que:

q(x) = a*(x-1)*(x-2)*(x-3)

Como sabemos que q(4) = 6, fica fácil encontrar o valor de a:

q(4) = 6 .:. a*(4-1)*(4-2)*(4-3) = 6 .:. a = 1

Então, q(x) = (x-1)*(x-2)*(x-3) e com isso, p(x) = (x-1)*(x-2)*(x-3) + 1

Logo, p(5) = (5-1)*(5-2)*(5-3) + 1 = 25

A outra maneira de resolver é definindo p(x) = ax³+bx²+cx+d e falando que p(1) = p(2) = p(3) = 1 e p(4) = 7 e resolvendo o sistema de 4 equações e 4 incógnitas.

Att.,
Pedro

Por favor, poderia me explicar de onde veio q(x) = p(x) - 1 ?

Eu criei. Devido as igualdades fornecidas, vi que a substituição seria útil.

Muito obrigado!!