Integrar usando método da substituição

por neoreload Sex 07 Nov 2014, 06:22

Pessoal preciso de ajuda nessa questão:

Calcular integral usando método da substituição:
$\int x\sqrt{x^{2}+5} dx$

Eu tentei fazer varias vezes, mas nunca consigo sair do começo quando eu tento substituir e chego eim: $\int xU^{\frac{1}{2}}\frac{du}{2x}$ . Agradeço muito quem puder deixar o passo a passo o mais detalhado possível. pq como eu disse, me perdi todo mesmo.

por **Jader** Sex 07 Nov 2014, 07:27

Faça u = x² + 5 => du = 2xdx <=> xdx = du/2. Então a integral fica

$\int x\sqrt{x^{2}+5}dx=\int \sqrt{u}*\frac{du}{2}=\frac{1}{2}\int u^{\frac{1}{2}}du=\frac{1}{2}[\frac{2\sqrt{u^{3}}}{3}]+ C=\frac{\sqrt{(x^{2}+5)^{3}}}{3}+C$

por neoreload Sex 07 Nov 2014, 09:00

Jader escreveu:Faça u = x² + 5 => du = 2xdx <=> xdx = du/2. Então a integral fica

$\int x\sqrt{x^{2}+5}dx=\int \sqrt{u}*\frac{du}{2}=\frac{1}{2}\int u^{\frac{1}{2}}du=\frac{1}{2}[\frac{2\sqrt{u^{3}}}{3}]+ C=\frac{\sqrt{(x^{2}+5)^{3}}}{3}+C$

Obrigado pela ajuda amigo. Consegui entender quase tudo, só não entendi o que vc fez com o x que multiplica a raiz la do inicio $\int x\sqrt{x^{2}5}dx$ . Vi que a raiz virou o U, mas e o x anterior a raiz?

por **Jader** Sex 07 Nov 2014, 10:06

Veja quando você faz a substituição de u = x² + 5 e o diferencial fica du = 2x dx <=> x dx = du/2.

Então perceba que no integrando nós temos $\sqrt{x^{2}+5}*xdx$ , mais nós já vimos que xdx = du/2, então fica $\sqrt{x^{2}+5}*xdx=\sqrt{u}*\frac{du}{2}$

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