Área - No triângulo ABC, D é o ponto médio de

por FISMAQUI Seg 27 Out 2014, 17:12

No triângulo ABC, D é o ponto médio de BC, E o ponto médio de AD, F o ponto médio de BE e G o ponto médio de FC. Calcule a relação entre as áreas dos triângulos ABC e EFG.

por **raimundo pereira** Ter 28 Out 2014, 14:59

por **raimundo pereira** Sex 31 Out 2014, 14:39

Detalhando:

1 - Ligue o ponto E ao ponto B e veja formado o triâng. BEC.
2 - Observe que as medianas ED e BF definem o ponto G1 , baricentro de BEC.
3 - Pela propriedades do baricentro temos EG1=2x e DG1=x.
4 - Nominando a área de DFG1 por S1, temos S(EFG1)=2x.(veja o teorema no TOPO). --Ueh! não saiu no desenho : Triângulos com mesma altura e base na mesma reta suporte , tem áreas proporcionais as suas bases.

5 - Chame S(BDG1)=S2 , então S(BEG1)=2S2.
6 - No triâng. DCE temos que : S(DCE)=S(CDF)+S(DEF)=6S1.
7 - No triâng. BCE , temos que S(DEC)=S(DEB)---> e, 6S1=3S2--->então S2=2S1.
8 - No triâng. BEC a mediana BF tem G como ponto médio, e temos G1 como o baricentro. Se GG1=z , temos y+z=2y-z-----z=y/2.
9 - S(BEF)/3y = S(EGG1)/(y/2)---> 6S1/3y= 2.S(EGG1)/(y/2)---->S(EGG1)=S1 ( parte mais difícil).
10 - S(AEB)=S(BED)=3S2, pois, E é pto médio AD.
11 - S(AEC)=S(DEC) =6S1
Finalmente´S(ABC)=6S1+6S1+3S2+3S2---->12S1 + 6.S2=12S1+¨.2S1=24S1 e S((EFG1)3S1

R=24S1/3S1=8