Poliedros convexos

por T Fulana Dom 19 Out 2014, 13:55

Um poliedro convexo possui dez faces triangulares e cinco faces quadrangulares. Calcule o mínimo de arestas e vértices do sólido.

por mvfs314 Dom 19 Out 2014, 17:43

Para este tipo de exercício, basta aplicar a seguinte propriedade:

Se A for o número de arestas de um poliedro convexo que possua f_{3} faces triangulares, f_{4} faces quadrangulares, f_{5} faces pentagonais e assim por diante, então:
2A=3f_{3}+4f_{4}+5f_{5}+\ldots

Neste caso, como 10 são faces triangulares, então f_{3}=10 e sendo 5 faces quadrangules, então f_{4}=5, ou seja,
\begin{align*}2A &=3\cdot10+4\cdot5 \\ & =30+20 \\ &= 50\end{align*}
isto é,
2A=50\Rightarrow A=25

Para determinar o número de vértices, utilizamos a seguinte expressão
V-A+F=2
Sendo 15 faces ao todo, e do cálculo anterior, 25 arestas, obtemos:
V-25+15=2\Rightarrow V=12

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