(UFV)Sistema trigonométrico

por DaniloCarreiro Seg 06 Out 2014, 17:53

*Agradeço a ajuda desde já

(UFV) Determine todos os pares (x,y) de números reais que satisfazem o sistema a seguir:

{sen²x= sen² 2y
{cos²x= sen² y

sendo 0≤x≤∏ e 0≤y≤∏

Gabarito: {(∏/3, ∏/6); (2∏/3, ∏/6); (0, ∏/2); (∏, ∏/2);
(∏/3, 5∏/6); (2∏/3, 5∏/6)}

por mvfs314 Seg 06 Out 2014, 23:28

Parece difícil, mas é simples, ao somarmos as duas equações, obtemos
\sin^{2}x+\cos^{2}x=\sin^{2}2y+\sin^{2}y
Da Relação Fundamental da Trigonometria, tem-se que
1=\sin^{2}2y+\sin^{2}y
Além disso, das expressões de arco duplo, obtemos
\sin^{2}2y=(2\sin y\cdot\cos y)^{2}=4\sin^{2}y\cdot\cos^{2}y
e do fato que \sin^{2}y=1-\cos^{2}y, conclui-se que
4\sin^{2}y\cdot\cos^{2}y+\sin^{2}y=1 \Leftrightarrow 4\cos^{4}y-3\cos^{2}y=0
que é uma equação biquadrada em \cos y. Chamando \cos^{2}y=z:
4z^{2}-3z=0\Rightarrow z=0\;\text{ou}\;z=\dfrac{3}{4}
Assim,
\cos y=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow y=\dfrac{\pi}{6}\;\text{ou}\;y=\dfrac{5\pi}{6}
e
\cos y=0\Rightarrow y=0
Substituindo esses valores de y, calculamos facilmente os respectivos valores de x.

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