Divergente ou Convergente - Sequencias

por Handrix Sex 26 Set 2014, 13:43

Sejam as sequências $Divergente ou Convergente - Sequencias Gif$ e $Divergente ou Convergente - Sequencias Gif$

a) Quanto à sequência $Divergente ou Convergente - Sequencias Gif$ : Esta é divergente ou convergente? Justifique sua resposta.

b) Caso exista, calcule o limite da sequencia $Divergente ou Convergente - Sequencias Gif$ . Caso essa sequencia seja divergente explique o motivo.

por Man Utd Sex 26 Set 2014, 18:14

a)

Podemos fazer : $\lim_{n \to +\infty} \; f(n)=\lim_{x \to +\infty} \; f(x)$ desde que o limite EXISTA (finito ou infinito) , logo :

$\lim_{x \to +\infty} \; \frac{ \sin \left( x \pi +\frac{\pi}{2} \right )}{\sqrt{x}}$

como $\lim_{x \to +\infty} \; \frac{ 1}{\sqrt{x}}=0$ e $\sin \left( x \pi +\frac{\pi}{2} \right )$ é função limitada temos que $\lim_{x \to +\infty} \; \frac{ \sin \left( x \pi +\frac{\pi}{2} \right )}{\sqrt{x}}=0$ logo $\lim_{n \to +\infty} \; \frac{ \sin \left( n \pi +\frac{\pi}{2} \right )}{\sqrt{n}}=0$ .Então essa sequência converge.

b)

$\\\\\\ \lim_{ n \to +\infty} \; x_{n}=\lim_{n \to +\infty} \; \frac{ \sin \left( n \pi +\frac{\pi}{2} \right )}{\sqrt{n}}+\frac{n^2-2n+1}{n^3+n}+3 \times \frac{(-1)^{n+1}}{n} \\\\\\ \lim_{ n \to +\infty} \; x_{n}=\lim_{n \to +\infty} \; \frac{ \sin \left( n \pi +\frac{\pi}{2} \right )}{\sqrt{n}}+ \lim_{n \to +\infty} \; \frac{n^2-2n+1}{n^3+n}+ 3 \times \lim_{n \to +\infty} \; \frac{(-1)^{n+1}}{n}$

as duas primeiras parcelas do limite é zero ,logo fica somente :

$\\\\\\ 3 \times \lim_{n \to +\infty} \; \frac{(-1)^{n+1}}{n}$

Use as subsequência $\\\\\\ c_{2n+1}$ e $\\\\\\ c_{2n}$ (perceba que uma representa todos os termos pares da sequência e a outra todos os termos ímpares):

$\\\\\\ 3 \times \lim_{ n \to +\infty} \; c_{2n}= 3 \times \lim_{ n \to +\infty} \; \frac{(-1)^{2n+1}}{n}= -3 \times \lim_{ n \to +\infty} \;\frac{1}{n}=0$

e

$\\\\\\ 3 \times \lim_{ n \to +\infty} \; c_{2n+1}= 3 \times \lim_{ n \to +\infty} \; \frac{(-1)^{2n+2}}{n}= 3 \times \lim_{ n \to +\infty} \;\frac{1}{n}=0$

Como as subquências utilizadas juntas representam todos os termos da sequência e elas convergem para um msm valor que é zero, logo a sequência tbm converge pra zero.Então a resposta da questão é zero .

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