Notação ARC

Gente estou com muitas dúvidas sobre a notação ARC sen, arc cos, arc tg e arc cotg, especialmente nas equações trigonométricas.

Resolva a equação a seguir no conjunto U = [0;2pi]
cos 3x = 1/3

como eu resolvi:
cos 3x = 1/3, então arc cos 1/3 = 3x, então x = arc cos 1/3)/3
Mas a resposta é:(arc cos 1/3)/3; (2pi + arc cos 1/3)/3, (4 pi + arc cos 1/3)/3, 2pi - ((arc cos 1/3)/3), (4pi - arc cos 1/3)/3, (2pi - arc cos1/3)/3

alguém poderia me ajudar please? não entendo onde estou errado obrigado gente.

Questão já existe no fórum, Letícia:

https://pir2.forumeiros.com/t53963-resolva-a-equacao-trigonometrica-simples

Att.,
Pedro

Pedro Cunha eu vi essa questao, mas n entendi a resolução do Cronos. essa partE do que ele fez:

para cos 3x temos na circunferência trigonométrica os pontos +xo e -xo que são extremidades dos arcos das famílias 3x = xo + 2kpi ou 3x = 2pi - xo + 2kpi satisfazendo assim a definição de arc cos



vc poderia explicar por favor? obrigado pedro

É o seguinte.

Se você pegar, por exemplo, a equação

sen x = 0

a primeira solução que vem à cabeça é x = pi. Mas tem outra:

2pi - pi = pi

bom, na verdade não 'outra' nesse caso, porque x = pi.

Mas em geral, se x = k é solução, x = 2pi - k também é.

Além disso, a solução geral da equação sen x = 0 é:

x = pi + 2kpi ou x = (2pi-pi) + 2kpi

Na verdade, na maioria das questões, usamos apenas a primeira possibilidade. Isto porque as raízes repetem-se.

Att.,
Pedro

o segredo para resolver essas questões de intervalos determinados é achar primeiro no intervalo Real e só então passar para o intervalo pedido.
foi o que o Cronos fez.

PedroCunha escreveu:Mas em geral, se x = k é solução, x = 2pi - k também é.

Além disso, a solução geral da equação sen x = 0 é:

x = pi + 2kpi ou x = (2pi-pi) + 2kpi

Pedro, dica: cuidado com expressões 'em geral' , 'normalmente' ,'na maioria das vezes' etc na resolução de questões de exatas. A solução de senx = 0 é x = kpi (pi,2pi,3pi,4pi,...) diferente de x = pi + 2kpi (pi,3pi,5pi,...)

Para resolver esse tipo de questão rapidamente, lembrem-se que:
sena = senb ∴ a = b + 2kpi ou a = (pi-b) + 2kpi
cosa = cosb ∴ a = b + 2kpi ou a = -b + 2kpi
tga = tgb  ∴ a = b + kpi , k ∈ Z
isso pode ser visto desenhando o círculo trigonométrico.

ex:
senx = 1/2
x = pi/6 + 2kpi ou x = (pi - (pi/6)) + 2kpi

cosx = √2/2
x = ±pi/4 + 2kpi

no caso temos:
cos3x = 1/3
3x = ±arccos(1/3) + 2kpi
x = (±arccos(1/3) + 2kpi)/3

arccos(1/3) é um pouco maior que 60º , agora basta verificar valores de k de modo que não ultrapasse uma volta:
S = { (arcos(1/3))/3 ; ((2pi +arccos(1/3) )/3 ; ((4pi +arccos(1/3) )/3 ; ((2pi -arccos(1/3) )/3 ;((4pi -arccos(1/3) )/3 ; (6pi -arccos(1/3))/3 }

Valeu pela explicação, Luck. Sempre tive duvida nessa parte.

Um dúvida:

porque em sen x = 0, temos x = kpi e não x = 2kpi ?

Pedro com x = 2kpi, com k e Z, pularia soluções do tipo Pi + 2kpi
então x = kpi fornece todas as soluções.

obrigado a todos! entendi perfeitamente!

beijos obg gente

luck, eu testei nesse site www . wolframaplha . com / input / ? ! = cos ^ - 1 + % 2 8 1 % 2 F 3 % 2 9 e arccos 1/3 é 70,53º

dai (6pi - arc cos1/3)/3 = (1080 - 70,53)/3 = 336,49, e isso passa de uma volta...