Determinante

Prova a identidade:

Para resolver, considere antes o seguinte teorema:
(Método da variação de parâmetros) Seja A uma matriz de ordem n e B a matriz obtida ao somarmos x a cada elemento da matriz A , vale a relação:
det B = detA + x(∑cofA)
onde ∑cofA é a soma dos cofatores de todos os elementos de A. Não é comum encontrar isso em livros, mas isso vem de várias aplicações do teorema das filas..

agora fica fácil, no caso sendo B a matriz dada na identidade:
------| 1+x---1----1----1|------|x---0---0---0|
det=-| 1----1+y---1----1| = + -|0---y---0---0| + 1.(∑cofA)
------| 1-----1---1+z---1|------|0---0---z---0|
------| 1-----1----1--1+z|------|0---0---0---v|

note que nesse caso o 'x' é 1.

Assim, detB = xyzv + [ (yzv) + (xzv) + (xyv) + (xyz) ]
detB = xyzv( 1 + (1/x) + (1/y) + (1/z) + (1/v) )

ps. vc poderia também ter resolvido na 'raça' mas seria um pouco trabalhoso..