Gás em êmbolo - Termodinâmica

por diego_barreto Sex Ago 29 2014, 12:26

Na parte esquerda do êmbolo, fixado no início, se encontra um gás perfeito (monoatômico) e na parte direita cria-se vácuo. O cilindro está termicamente isolado do meio externo. Existe uma mola conectando o êmbolo e a parede do cilindro. No início a mola não está deformada. O êmbolo se libera e, depois de estabelecer o equilíbrio, o volume final é o dobro do inicial. Como varia a pressão e a temperatura?

Gás em êmbolo - Termodinâmica 11k9xcj

Resposta:

por **Claudir** Sex Ago 14 2015, 21:32

Essa questão é do ITA, se não me engano. Também estou tendo problemas com ela. Alguém poderia ajudar?

por **Claudir** Sex Ago 14 2015, 21:35

por **Carl Sagan** Sáb Ago 15 2015, 20:55

Primeiro, devemos encontrar a temperatura final.

A energia interna final é menor do que a inicial, pois parte dela será armazenada na mola.

Temos que:

$U_{final}=U_{inicial}-E_{pel}$

Cálculo da Energia Interna no início (gás monoatômico, um mol):

$U_{inicial}=\frac{3}{2}RT_{i}$

Para encontrar o volume inicial, usamos Clapeyron na situação final (quando o volume dobrar):

$2P_{o}V_{0}=RT \ \ \ \Leftrightarrow \ \ \ V_{o}=\frac{RT}{2P_{o}}$

Como o Volume dobrou, a variação é igual ao próprio volume inicial:

$\Delta V=V_{f}-V_{o}=2V_{o}-V_{o}=V_{o}$

Seja "A" a área da base do recipiente, e "x" o deslocamento do êmbolo, a variação de volume pode ser escrita:

$\Delta V=A \cdot x$

Substituindo os dados e manipulando:

$A \cdot x=\frac{RT}{2P_{o}} \ \ \ \ \Leftrightarrow \ \ \ \ (P_{o} \cdot A) \cdot x=\frac{RT}{2}$

Mas, da relação entre força e pressão sabemos que:

$F=\frac{P}{A}$

E a força é $F=kx$

Logo:

$P_{o} \cdot A = k \cdot x\\$

Então:

$\frac{kx^{2}}{2}=\frac{RT_{f}}{4}$

Voltando na primeira equação:

$\frac{3RT_{f}}{2}=\frac{3RT_{i}}{2}-\frac{RT_{f}}{4}$

$\therefore \ \ \ \ \frac{7T_{f}}{4}=\frac{6T_{i}}{4} \ \ \ \Leftrightarrow \ \ \ \boxed{\boxed{T_{f}=\frac{6}{7}T_{i}}}$

Agora, para encontrar a relação entre as pressões:

$\frac{P_{i}V_{i}}{T_{i}}=\frac{P_{f}V_{f}}{T_{f}}$

Conclusão:

$\therefore \ \ \ \ \frac{P_{i}V_{i}}{T_{i}}=\frac{P_{f}2V_{i}}{\frac{6}{7}T_{i}} \ \ \ \ \Leftrightarrow \ \ \ \ \boxed{\boxed{P_{f}=\frac{3}{7}P_{i}}}$

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