números complexos

por PalomaMenezes Qua 06 Ago 2014, 09:36

As soluções da equação x² + bx + c = 0 são números complexos distintos que, no plano
de Argand-Gauss, estão na circunferência de raio 2 centrada na origem.
Portanto, as constantes reais b e c são tais que
A) b = 4 e −2 ≤ c ≤ 2.
B) − 4 ≤ b ≤ 4 e c = 2.
C) − 4 < b < 4 e c = 4.
D) − 2 ≤ b ≤ 2 e c = 4.
E) − 2 < b < 2 e − 4 < c < 4.

Resposta: C

por PedroCunha Qua 06 Ago 2014, 09:53

Olá.

Se as raízes são complexas, o discriminante é negativo:

b² - 4c < 0 .:. b² < 4c

As raízes complexas, quando os coeficientes da equação são reais, vem sempre aos pares - são conjugadas - .

Pelas relações de Girard:

x'*x'' = c .:. (a+bi)*(a-bi) = c .:. a²+b² = c

O raio da circunferência é o módulo dessas raízes, que nada mais é que √(a²+b²). Então, a²+b² = 2² = 4 = c.

Voltando no discriminante:

b² < 4*4 .:. b²< 16 .:. -4 < b < 4

Letra c.

Att.,
Pedro

por PalomaMenezes Qua 06 Ago 2014, 09:59

Obrigada! (:

por EsdrasCFOPM Ter 06 Set 2016, 12:58

Tem como explicar de uma forma mais simples essa afirmação: "As raízes complexas, quando os coeficientes da equação são reais, vem sempre aos pares - são conjugadas - ."

por **Elcioschin** Ter 06 Set 2016, 13:50

Existe uma demonstração a respeito:

Sempre que uma equação admitir uma raiz complexa a + b.i, admitirá também a raiz conjugada a - b.i

Assim, as raízes complexas sempre vem em pares. É impossível existir uma equação que admita apenas 1 raiz complexa.

Logo, uma equação do 3º grau por exemplo, ou tem 3 raízes reais ou tem 1 raiz real e 2 complexas (conjugadas).