(Romênia) Segmentos do triângulo

por medock Sáb 02 Ago 2014, 07:08

No triângulo AEI, temos AÊI = 2 ^. AÎE. Prove que AI² = AE² + AE ^. EI e que AE + EI < 2AI.

por Luck Dom 03 Ago 2014, 00:07

(Romênia) Segmentos do triângulo Untitled

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Lei dos senos:
b/sen2θ = c/senθ = a/sen3θ
b/(2senθcosθ) = c/senθ = a/(3senθ -4sen³θ)
b/(2cosθ) = c = a/(3-4sen²θ)
b = (2c)cosθ ; a = 3c - 4csen²θ
∴ cos²θ = b²/4c² , (i)
∴ sen²θ = (3c-a)/(4c) , (ii)
somando (i) e (ii) :
(b²/4c²) + (3c-a)/(4c) = 1
b² + 3c² - ac = 4c²
b² = c² + ac
b² = c(a+c) , c.q.d

supondo por absurdo que : c + a ≥ 2b
como tudo é positivo, multiplicando por c:
c(c+a) ≥ 2bc
b² ≥ 2bc
b ≥ 2c
(2c)cosθ ≥ 2c
cosθ ≥ 1, absurdo! Logo , c + a < 2b
c.q.d