Inequações Lineares III

Calcule (x+y+z) para {x;y;z} inteiros no sistema:

●  x-2y+z < 1
●  x-y+z > 1
●  4x+y-2z < 1
●  z< 4

a)1       b)3        c)5           d)6            e)4

Up!

Eu fiz as seguintes relações ↓ . Caso alguem decida partir dessa ideia, antes reveja os calculos. Posso ter errado algo.


●  x-2y+z < 1 ...................(I)
●  x-y+z > 1   ..................(II)
●  4x+y-2z < 1    ..............(III)
●  z< 4              ...............(IV)

I-II → y > 0
4(II)-(III) → 6z-5y > 3

Dessas relações, obtive que z ≥ 1 → como z< 4 → Z poderia ser {1;2;3}

(I)-2(II) → x+z>0 → x>-4
                                                      → x poderia ser {1;0;-1;-2;-3}
(I)+2(II) → 3x-z<1 → x≤1

Reorganizando (II) → x+z-1>y>0 → x+z > 1 → X poderia ser {1;0;-1}

x -2y + z < 1 ∴ -x +2y - z > - 1 (i)
x -y + z > 1  ∴ 2x - 2y + 2z > 2 (ii)
4x + y -2z < 1 ∴ -4x -y +2z > - 1 (iii)

(i) + (ii) : x + z > 1 (iv)

-x + 2y- z > -1
(iii).2: -8x -2y + 4z > -2
somando ambas:
-9x +3z > -3 (v)

(iv).9: 9x + 9z > 9 (vi)
(v) + (vi) : 12z > 6 ∴ z > 0,5
Assim, 0,5 < z < 4, possíveis valores de z { 1,2,3}  (3 casos)

1) se z = 1:
-x + 2y > 0 (i)
x - y > 0  (ii)
-4x - y > - 3 (iii)

(i) + (ii) : y > 0

(ii).4 : 4x - 4y > 0 (iv)
(iv) + (iii): -5y > - 3 ∴ y < 0,6
assim, 0 < y < 0,6 (não existe y inteiro)

2) se z = 2:

-x+2y > 1 (i)
x - y > -1 (ii)
-4x -y > -5 (iii)

(i) + (ii) : y > 0

(ii).4: -4x-4y > -4 (iv)
(iv) + (iii) :  -5y > -9 ∴ y < 1,8
Assim, 0 < y < 1,8 ∴ y = 1
sendo y = 1
-x + 2 > 1 ∴ x < 1
x-1 > -1 ∴ x > 0
-4x-1 > -5 ∴ x < 1
0  < x < 1, sem solução inteira.

3) se z = 3
-x + 2y > 2 (i)
x - y > -2 (ii)
-4x - y > -7 (iii)

(i) + (ii) : y > 0

(ii).4 : 4x - 4y > -8 (iv)
(iv) + (iii) : -5y > -15 ∴ y < 3
0 < y < 3 ∴ y = 1 ou y = 2

sendo y = 1
-x + 2 > 2 ∴ x < 0
x - 1 > -2 ∴ x > -1
-4x -1 > -7 ∴  x < 1,5
assim, -1 < x < 0 , sem solução inteira.

finalmente, sendo y = 2:
-x + 4 > 2 ∴ x < 2
x - 2 > -2 ∴ x > 0
-4x - 2 > -7 ∴ x < 1,25
assim, 0 < x < 1,25  ∴ x = 1

Logo, x = 1, y = 2 , z = 3 é a única solução inteira.
x + y + z = 6

Valeu Luck!!