Inequações Lineares IV

por L.Lawliet Sex 01 Ago 2014, 20:15

Se { x+y+z = 1}, onde x>0 ; y>0 e z>0. Calcule o valor de "n'' em { (1-x)(1-y)(1-z)≥ n }.

a)6xyz b)8xyz c)4xyz d)3xyz e)xyz

por PedroCunha Sáb 02 Ago 2014, 05:06

Olá, Luiz.

(1-x) \cdot (1-y) \cdot (1-z) \geq n \therefore (y+z) \cdot (x+z) \cdot (x+y) \geq n

Pela desigualdade das médias:

\begin{cases} \frac{y+z}{2} \geq \sqrt{yz} \therefore y+z \geq 2\sqrt{yz} \\\\ \frac{x+z}{2} \geq \sqrt{xz} \therefore x+z \geq 2\sqrt{xz} \\\\ \frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy} \therefore x+y \geq 2\sqrt{xy} \end{cases}

Substituindo:

\\ (y+z) \cdot (x+z) \cdot (x+y) \geq 2\sqrt{yz} \cdot 2\sqrt{xz} \cdot 2\sqrt{xy} \therefore \\\\ (y+z) \cdot (x+z) \cdot (x+y) \geq 8xyz \Leftrightarrow \boxed{\boxed{n = 8xyz}}

Abraços,
Pedro

por L.Lawliet Sáb 02 Ago 2014, 07:00

Valeu Pedro!!

por L.Lawliet Seg 04 Ago 2014, 10:55

Pedro, uma curiosidade. Quando vamos usar utilizar a desigualdade das medias, como eu sei se devo partir da ideia de que :(√(x)-√(y)) ≥ 0 ou (√(x)+√(y)) ≥ 0 ?