Retas Concorrentes (Congruência e Semelhança)

(UFPE) Os  postes verticais AB e CD na figuram medem 12m e 8m respectivamente. Existem cabos de sustentação unindo a base de cada um dos postes ao topo do outro poste. Qual a distância, em dm, do ponto de interseção dos cabos à horizontal?



Gabarito: 48 dm (= 4,8m)

Grato desde já.

Sejam P o ponto de interseção e H o pé da perpendicular de P sobre BD ---> PH = h

AB/BD = h/HD ----> 12/BD =h/HD

CD/BD = h/HB ---> 8/CD = h/(BD - HD)

Faça as contas

Meio "funcional" de resolver:

Fixamos o centro do eixo cartesiano na base do poste AB. Qual função representa a reta BC? Sendo h a distâncias entre os postes essa função será:

y=8x/h

E a reta AD será:

y=-12x/h +12

No ponto de interceção:

8x/h=-12x/h +12 ---------->20x/h=12 --->x=3/5h

Calculando y pela primeira fórmula (que é mais fácil, mas ambas devem dar o mesmo):

y=24/5=4.8m ou 48 dm

Note que x depende de h, mas y não.


Meio geométrico:

Seja E o ponto da interseção dos cabos e F o pé da perpendicular à BD passando por E. Os triângulos EFD e ABD são semelhantes e portanto:

EF/12 = FD/BD.

Também são semelhantes os triângulos EFB e CBD, portanto EF/8 = FB/BD.
Segue que
EF/12+EF/8 = (FD+FB)/BD = BD/BD =1.

Logo,

20.EF = 96 e EF = 4,8m =48dm.

Matheus Fillipe escreveu:Meio "funcional" de resolver:

Fixamos o centro do eixo cartesiano na base do poste AB. Qual função representa a reta BC? Sendo h a distâncias entre os postes essa função será:

y=8x/h

E a reta AD será:

y=-12x/h +12

No ponto de interceção:

8x/h=-12x/h +12    ---------->20x/h=12  --->x=3/5h

Calculando y pela primeira fórmula (que é mais fácil, mas ambas devem dar o mesmo):

y=24/5=4.8m ou 48 dm

Note que x depende de h, mas y não.


Meio geométrico:

 Seja E o ponto da interseção dos cabos e F o pé da perpendicular à BD passando por E. Os triângulos EFD e ABD são semelhantes e portanto:

EF/12 = FD/BD.

Também são semelhantes os triângulos EFB e CBD, portanto EF/8 = FB/BD.
Segue que
EF/12+EF/8 = (FD+FB)/BD  = BD/BD =1.

Logo,

20.EF = 96 e EF = 4,8m =48dm.

Elcio, minha primeira providencia foi montar esse esquema, mas não me ajudou muito. Tem muitas incógnitas interdependentes...

Matheus, muitíssimo prestativo o método funcional. Confesso que o contexto geométrico me desestimulou a essa saída tão mais simples. Quanto ao método geométrico...bom, eu pesquisei essa questão na internet, e achei exatamente essa solução. Tinha efetuado todas as etapas, com tranquilidade, menos esta, que não entendi:

Segue que 
EF/12+EF/8 = (FD+FB)/BD  = BD/BD =1.

Logo,

20.EF = 96 e EF = 4,8m =48dm.

Quer dizer, de onde veio essa conclusão? Qual o porquê das somas? Até achei intuitivo o 4,8 em função do MMC, mas fiquei intrigado. Nessa se resume a minha dúvida, na verdade...

Nossa incógnita é EF e sabemos que:

EF/12 = FD/BD.

EF/8 = FB/BD.

e também:

FD+FB=BD

então somam-se as duas primeiras equações para facilitar a resolução do sistema e eliminar o BD e o FD e FB.[

Ah, sim, claro .  Excelente, valeu! Abraço.

 :tiv: