Geometria ( Triângulo )

por murii1 22/6/2014, 9:38 am

Em um triângulo ABC traça-se uma bissetriz no ângulo do vértice A, a qual mede x . Sabendo que BÂC mede 120º e os lados adjacentes a este medem a e b calcule o valor de x.

por **raimundo pereira** 22/6/2014, 10:15 am

murii1
Alguém colocou aqui no Pir uma fórmula para calcular essa bissetriz e eu guardei.
Não sei como é deduzida . Use-a, e veja se bate com seu gab.

B(a)=2.bc/(c+b)* cos Â/2

por murii1 22/6/2014, 10:37 am

raimundo pereira escreveu:murii1
Alguém colocou aqui no Pir uma fórmula para calcular essa bissetriz e eu guardei.
Não sei como é deduzida . Use-a, e veja se bate com seu gab.

B(a)=2.bc/(c+b)* cos Â/2

Muito obrigado raimundo! No entanto ainda preciso da dedução dela. Se alguém puder postar, agradeço Smile

por **Elcioschin** 22/6/2014, 12:33 pm

Sejam AB = c, AC = b e P o ponto de encontro da bissetriz de A com BC (BP = m,
CP = n, AP = x)

BÂC = 120º ----> BÂP = CÂP = 60º

Teorema da bissetriz interna ---> AB/AP = AC/CP ---> c/n = b/m ---> I

Lei dos cossenos:

1) ABP ---> BP² = AB² + AP² - 2.AB.AP.cosBÂP = m² = c² + x² - 2.c.x.cos60º --->

m² = c² + x² - cx ---> II

2) ACP ---> CP² = AC² + AP² - 2.AC.AP.cosBÂP = n² = b² + x² - 2.b.x.cos60º --->

n² = b² + x² - bx ---> III

3) ABC ---> BC² = AC² + AB² - 2.AC.AB.cosBÂC ---> (m + n)² = b² + c² + bc --->

Tente agora resolver o sistema de equações e calcular x

por **Medeiros** 22/6/2014, 9:25 pm

raimundo pereira escreveu:murii1
Alguém colocou aqui no Pir uma fórmula para calcular essa bissetriz e eu guardei.
Não sei como é deduzida . Use-a, e veja se bate com seu gab.

B(a)=2.bc/(c+b)* cos Â/2

Raimundo,
fui eu que havia declarado essa fórmula. Há muito tempo fiz a dedução usando lei dos senos e dos cossenos; estes escritos devem estar em algum canto que depois procuro, só lembro que ficou um pouco longa. Por agora, atendendo ao Muri, fiz uma dedução usando a fórmula da área de um triângulo dados um ângulo e os dois lados adjacentes. Segue lá.

Seja o triângulo ABC. Dados os lados b e c e o ângulo θ entre eles. Quer-se o comprimento do segmento x, bissetriz do ângulo θ.

Geometria ( Triângulo ) 2mgr340

S = área do triângulo ABC

$\\S=S_1+S_2\\\\ \frac{1}{2}\cdot b.c.\sin\theta=\frac{1}{2}\cdot x.c.\sin\frac{\theta}{2}+\frac{1}{2}\cdot x.b.\sin\frac{\theta}{2}\\\\ b.c.\sin\theta=x.\sin\frac{\theta}{2}\cdot \left ( b+c \right )\\\\ x=\frac{bc}{b+c}\cdot\frac{\sin\theta}{\sin\frac{\theta}{2}}\\\\ x=\frac{bc}{b+c}\cdot\frac{2.\sin\frac{\theta}{2}.\cos\frac{\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}\\\\ \therefore \;\;\;\boxed{\boxed{\;\;\;x=\frac{2bc}{\;b+c\;}\cdot\cos\frac{\theta}{2}}}$

Abraços.

PS.: depois, se eu achar a outra dedução, crio um tópico e a posto.

por murii1 23/6/2014, 4:06 am

Medeiros escreveu:
raimundo pereira escreveu:murii1
Alguém colocou aqui no Pir uma fórmula para calcular essa bissetriz e eu guardei.
Não sei como é deduzida . Use-a, e veja se bate com seu gab.

B(a)=2.bc/(c+b)* cos Â/2
Raimundo,
fui eu que havia declarado essa fórmula. Há muito tempo fiz a dedução usando lei dos senos e dos cossenos; estes escritos devem estar em algum canto que depois procuro, só lembro que ficou um pouco longa. Por agora, atendendo ao Muri, fiz uma dedução usando a fórmula da área de um triângulo dados um ângulo e os dois lados adjacentes. Segue lá.

Seja o triângulo ABC. Dados os lados b e c e o ângulo θ entre eles. Quer-se o comprimento do segmento x, bissetriz do ângulo θ.

S = área do triângulo ABC

$\\S=S_1+S_2\\\\ \frac{1}{2}\cdot b.c.\sin\theta=\frac{1}{2}\cdot x.c.\sin\frac{\theta}{2}+\frac{1}{2}\cdot x.b.\sin\frac{\theta}{2}\\\\ b.c.\sin\theta=x.\sin\frac{\theta}{2}\cdot \left ( b+c \right )\\\\ x=\frac{bc}{b+c}\cdot\frac{\sin\theta}{\sin\frac{\theta}{2}}\\\\ x=\frac{bc}{b+c}\cdot\frac{2.\sin\frac{\theta}{2}.\cos\frac{\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}\\\\ \therefore \;\;\;\boxed{\boxed{\;\;\;x=\frac{2bc}{\;b+c\;}\cdot\cos\frac{\theta}{2}}}$

Abraços.

PS.: depois, se eu achar a outra dedução, crio um tópico e a posto.