Integral de Função Complexa

por José Rocha Alves Dom 15 Jun 2014, 21:21

Mostre que Integral de Função Complexa Z

onde C é o circulo de centro na origem e raio 2, isto é, z(t)=2(cos t+i sen t), onde 0 t 2 (ou ainda, z(t) = e²^it ).

por Man Utd Qui 19 Jun 2014, 19:26

A circuferência de raio 2 no plano Argand-Gauss é representada por : $\\\\ z(\theta)=2(cos\theta+isen\theta)=2e^{\theta i}$ , então da definição de integral de linha : $\\\\ \\\\ \oint_{C} \; f(z) \; dz=\int_{\theta_{0}}^{\theta_{1}} \; f(z( \theta))*z^{\prime}(\theta) \; d\theta$ , então :

$\\\\\\ \int_{0}^{2\pi} \; (2e^{\theta i})^2*2i*e^{\theta i} \; d\theta \\\\\\ 8i*\int_{0}^{2\pi} \; e^{2\theta i}e^{\theta i} \; d\theta \\\\\\ 8i*\int_{0}^{2\pi} \; e^{3\theta i} \; d\theta$

$\\\\\\ \int_{0}^{2\pi} \; (2e^{\theta i})^2*2i*e^{\theta i} \; d\theta \\\\\\ 8i*\int_{0}^{2\pi} \; e^{2\theta i}e^{\theta i} \; d\theta \\\\\\ \frac{8}{3}*\left[ e^{3\theta i} \right]_{0}^{2\pi}=\frac{8}{3}*\left[ e^{6\pi i} -1\right]=0$

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