Soma das parcelas

por Handrix Qui 17 Jun 2010, 12:53

Calcule o valor da soma de n parcelas 1 + 11 + 111 + ... + 111...1 ( n "uns" ).

Gabarito: $\frac{{10}^{n+1} - 9n - 10}{81}$

Até mais.

por **adriano tavares** Sáb 19 Jun 2010, 12:32

Olá, Handrix.

$S=1+11+111+1111....+1111....111111$

Multiplicando ambos os membros por 9 teremos:

$9S=9+99+999+...+999999....9999$

Escrevendo essa soma de outra maneira teremos:

$9S=(10-1)+(10^2-1)+(10^3-1)+...+(10^n-1)$

$9S=(10+10^2+10^3...+10^n)-n$

Note que entre os parenteses temos a soma de uma progressão geométrica de razão 10.

$9S=10(\frac{10^n-1}{10-1})-n \Rightarrow 9S=\frac{10^{n+1}-10}{9}-n \Rightarrow 9S=\frac{10^{n+1}-10-9n}{9}$

$S=\frac{10^{n+1}-9n-10}{81}$

por Handrix Sáb 19 Jun 2010, 12:46

Olá, adriano tavares.

Por que você inicia multiplicando os dois lados por 9?

Não entendi essa parte 9S = (10 + 10³ + 10³... + 10^n) - n Neutral

por **adriano tavares** Sáb 19 Jun 2010, 12:59

Olá, Handrix.

Eu multipliquei por 9 para que essa nova soma apareça apenas algarismos nove.

Quanto a segunda pergunta,se você perceber verá que entre os parenteses estão apenas as potências de 10, está faltando a soma de todos os algarismos um.Como são n uns , essa soma será igual a :

n.1=n.

Um abraço!!!

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