PA - UFG 2013

por Minoanjo Ter 13 maio 2014, 01:07

Alguém pode me ajudar com esta questão. Não tenho o gabarito dela. Agradeço desde já.

[img] PA - UFG 2013 Xqci7q

[/img]

por MatheusMagnvs Ter 13 maio 2014, 01:52

Questão um pouco automática quando se sabe a fórmula, na verdade. Vamos lá.

Soma de potências naturais em P.A.:

S(n¹):1+2+3+...+n = n(n+1)/2

S(n²): 1²+2²+3²+4²+...+n² = (n^3/3) + (n²/2) + (n/6) = n(n+1)(2n+1)/6

S(n³): 1³+2³+3³ + 4³ + ... + n³ = (n^4/4)+(n³/2)+(n²/4)

Conforme S(n²), temos a alternativa E.

Demonstração:

(n+1)³ = n³ + 3n²+3n+1³

2³ = 1³ + 3 + 3 + 1³

3³ = 2³+3.(2²)+3.2+1³

4³ = 3³+3(.3)²+3.3+1³

.

(n+1)³ = n³+3n²+3n+1³

Somando todos os termos do lado direito e esquerdo, temos:

(n+1)³ = 1+3(1²+2²+3²+...+n²)+3(1+2+3+...+n)+(1+1+1+1...+1)

----------------- -------------

Soma de n termos Soma de n termos

de potência 2 de potência 1

(n+1)³ = 1+3[S(n²)+3[S(n)]+n

(n+1)³ = 3[S(n²)]+3[n(n+1)/2]+n+1

Como queremos a soma dos n termos naturais de expoente 2, devemos isolar S(n²):

S(n²) = (n+1)³/3 - (n{n+1}/2) - (n+1/3)

S(n²) = [2n³+3n²+n]/6 = (n³/3) + (n²/2) + (n/6) = [n(n+1)(2n+1)]/6

.'. S(n²) = [n(n+1)(2n+1)]/6

Espero ter ajudado. Smile

por MatheusMagnvs Ter 13 maio 2014, 01:54

Amigo, um detalhe:
eu te ajudei na questão, mas, sem querer ser rude, se atente as regras do fórum. Não é permitido postar questões no formato imagem; estas devem ser transcritas. O sr. está infringindo a regra. Da próxima vez que cometer a falha não poderemos ajudá-lo caso não poste conforme as solicitações. Espero que dê uma olhada nas regras depois. Boa noite. Smile