Operações fundamentais em |N

por Zéh Qui 01 maio 2014, 13:33

Se A = 1³+2³+3³+...+49³+50³, então a raiz quadrada de A é igual a:

Gabarito:

por **ivomilton** Qui 01 maio 2014, 15:00

Zéh escreveu:Se A = 1³+2³+3³+...+49³+50³, então a raiz quadrada de A é igual a:

Gabarito:

Boa tarde, Zéh.

Copiei esta parte da internet (Yahoo Respostas):

Temos de provar que:

S(n): 1³ + 2³ + 3³ +...+ n³ = (1+ 2+ 3+...+ n)² = [n.(n+1)/2]²

a) S(n) para n = 1:

S(1): 1³ = 1² => S(1) vale.

b) S(n) => S(n+1)

1³ + 2³ + 3³ +...+ n³ = (1+ 2+ 3+...+ n)²

1+ 2+ 3+...+ n = n(n+1)/2

Donde

1³ + 2³ + 3³ +...+ n³ = (n(n+1)/2)².

Somando (n+1)³ à equação:

1³ + 2³ +...+ n³+ (n+1)³ = (n(n+1)/2)² + (n+1)³
= (n+1)²(n/2)² + (n+1)²(n+1)
= (n+1)²((n/2)²+ (n+1))
= (n+1)²(n²/2² + n +1 )
= (1/2²)(n+1)²(n²+ 2²n + 2²)
= (1/2²)(n+1)²(n²+ 2*2n + 2²)
= (1/2²)(n+1)²(n+ 2)²
= ((n+1)(n+ 2)/2)²
= (1+ 2+ 3 +...+ n + (n+1))².

Conclusão: S(n+1) vale:

1³ + 2³ +...+ n³+ (n+1)³ = (1+ 2+ 3 +...+ n + (n+1))².

Assim, demonstramos que:

S(n) => S(n+1)

Então, pelo princípio de indução, demonstramos que S(n) vale para todos os naturais.

======================================================
S(n): 1³ + 2³ + 3³ +...+ n³ = (1+ 2+ 3+...+ n)² = [n.(n+1)/2]²

A = [50(50+1)/2]²

√A = 50*51/2 = 2550/2

√A = 1275

Um abraço.

por Zéh Qui 01 maio 2014, 15:30

Mestre, apesar de alguns conceitos dessa explicação estarem na minha frente, muito obrigado.

por **ivomilton** Qui 01 maio 2014, 16:45

Zéh escreveu:Mestre, apesar de alguns conceitos dessa explicação estarem na minha frente, muito obrigado.

Olá, pesquisei na net algo mais acessível (creio).
Então, veja se assim consegue compreender melhor.

(Tradução do texto que encontrei:)

A formula 1³+2³+3³+…n³=[n(n+1)/2]² contém a série de números naturais, porque a soma pode ser escrita como 1+2+3+...+n=n(n+1)/2.

Assim, existe a fórmula 1³+2³+3³+...n³=(1+2+3+...+n)² que está ilustrada abaixo:

(Link para a imagem das figuras:)

http://www.mathematische-basteleien.de/kubikzahl05.gif

Copie o link e cole na linha de endereços em seu computador (porque clicando direto sobre o link também não consegui abrir).

As figuras mostram como o quadradão é a soma dos cubos 1³ + 2³ + 3³ + ... etc

Um abraço.

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