Duvida conjuntos

Um ciclo de três conferências teve sucesso constante, isto é, em cada sessão havia o mesmo número de assistentes. No entanto, a metade dos que compareceram à primeira conferência não voltou mais; um terço dos que compareceram à segunda conferência assistiu apenas a ela e um quarto dos que compareceram à terceira não assistiu nem à primeira nem à segunda. Sabendo que havia 300 inscritos e que cada um assistiu a pelo menos uma conferência,
considere as alternativas :
I – 156 pessoas compareceram a cada conferência.
II – 37 pessoas compareceram às três conferências.
III – 94 pessoas compareceram a somente duas conferências.
IV – 168 pessoas compareceram a somente uma conferência.
          Então :
a) todas são verdadeiras          b) apenas uma é falsa
c) duas são falsas                   d) apenas uma é verdadeira
e) todas são falsas.

reposta letra B

Sejam:

n = total de pessoas que assitiu cada conferência
n/2 assitiu apenas a 1ª
n/3 assitiu apenas a 2ª
n/4 assistiu apenas a 3ª
x, y, w assistiram apenas a 1ª e 2ª, a 2ª e 3ª e a 1ª e 3ª
z assitiram às três

n/2 + x + w + z = n ---> x + w + z = n/2 ----> I
n/3 + x + y + z = n ---> x + y + z = 2n/3 ---> II
n/4 + y + w + z = n ---> x + y + z = 3n/4 ---> III
-------------------------------------------------
................................. 2.(x + y + w) + 3z = 23n/12 ---> IV

(n/2 + n/3 + n/4) + (x + y + w) + z = 300 ---> 13n/12 + (x + y + w) + z = 300

Por favor confira as contas e tente resolver o sistema

Para entender melhor, tente acompanhar meu raciocínio ilustrando-o no diagrama de Venn

Se o numero de pessoas que que compareceu a cada sessão é o mesmo, temos:
nº de pessoas de cada sessão=x
 
nº de pessoas que compareceram apenas a 1ª sessão=1x/2

nº de pessoas que compareceram apenas a 2ª sessão=1x/3

nº de pessoas que compareceram apenas a 3ª sessão=1/4x

nº de pessoas que compareceram apenas a uma sessão=13x/12

Sabendo que 1x/2, 2x/3 e 3x/4 é o número de pessoas de cada sessão  , respectivamente, que compareceram a mais de uma sessão, e chamando de A as pessoas que assistiram a somente 1 e 2, B que assistiram a somente 2 e 3, C a somente 1 e 3 e D a 1,2 e 3 e sendo 300(total)-13x/12(Que assistiram a somente uma sessão) o nº de pessoas que compareceram a pelo menos duas sessões, temos:
1--1x/2+2x/3= A+B+C+D+A+D
2--300-13x/12=A+B+C+D
1-2=A+D
=7x/6-300+13x/12=27x/12-3600/12
Logo o número de pessoas que assistiram a Primeira sessão e a segunda(A+D)=27x/12-300

Sendo A+B+D= 2x/3
B=2x/3-27x12+300
B=-19x+300
Pelo mesmo processo temos C=-21x/12+300
Agora falta descobrir A e D separadamente. Então utilizando do mesmo processo feito para descobrir quanto é A+D, podemos descobrir quanto é C+D, e sabendo que C+D+A=1x/2 temos:
C+D=28x/12-300
A=1x/2-28x/12+300
A=-22x/12+300
Sendo A+D=27x/12-300, temos
D=27x/12-300-(-22x/12+300)
D=49x/12-600
Agora sabemos que:
Nº de pessoas que compareceram apenas a uma conferência=13x/12
Nº de pessoas que compareceram apenas a duas conferências=-22x/12+300+(-21x/12+300)+(-19x/12+300)
=900-62x/12
Nº de pessoas que compareceram as três conferências=49x/12-600
Sabendo dessas informações podemos confirmar as alternativas.
Começando a partir da IV, temos:
13x/12=168
13x=2016
x=155,076923...
Mas como o número de pessoas tem que ser um numero inteiro e não negativo, então essa afirmação é falsa
III.-
900-62x/12=94
-62x/12=-806
-62x=-9672
x=156
Isso é apenas uma possibilidade, tendo em vista que muitos X poderiam nos dar um número inteiro. Então ficamos em dúvida nessa alternativa.
II.
49x/12-600=37
49x/12=637
49x=7644
x=156
Essa afirmação reafirma a mesma coisa da afirmação 3, mostrando uma possibilidade que pode ser verdadeira. Mas ainda temos que ver se o x sendo igual a 156 teremos como resultado os 300 inscritos. Então considerando ele como 156, temos:
1.Nº de pessoas que compareceram somente a duas sessões=94

2.Nº de pessoas que compareceram a três sessões=37

3.Nº de pessoas que compareceram a somente uma sessão=13x/12
=13X156/12
=2028/12
=169

Nº total de inscritos= 1+2+3=169+37+94=300
Sabendo que a ultima consideração é verdadeira, podemos dizer que a sua anterior também é verdadeira, assim como a anterior desta, e assim sucessivamente, até chegarmos no início e podermos afirmar que x=156
I.
Como já provamos, X=156


Logo temos I, II e III verdadeiras e IV falsa
Resposta: Letra "B"