Modelagem (equações diferenciais)

por Adriana Luz Lima Sáb 29 Mar 2014, 15:08

2) Sabendo que o Radium se decompõe naturalmente em proporção direta à quantidade presente, e que leva 250 anos para decompor 10% de uma certa quantidade, quantos anos levará para decompor a metade da quantidade original?

por Matheus Fillipe Dom 30 Mar 2014, 23:29

Questões desse tipo levam à ed:

$\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}=-kx$

Onde x é a quantidade de massa restante em um instante t e k é a constante de decrescimento. Resolvendo:
$\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}=-kx ==>\;\;\frac{dx}{x}= -kdt\;\;==>\;ln(x)=-kt+c\;\;==>\; x=e^ce^{-kt}$

A constante c deve ser escolhida de forma a satisfazer às condições iniciais, onde temos uma massa inicial M em t=0:

$M=e^c==>\;\;c=ln(M)==>x=Me^{-kt}$

Assim se T é a meia vida:

$\frac{M}{2}=Me^{-kT}\;\;==>\;\;\frac{1}{2}=e^{-kT},\;\;T=\frac{ln{2}}{k}$

No nosso exemplo k pode ser calculado assim:

$0,9 M=Me^{- 250k}\;\;==>\;\;k=-ln(0,9)/250$

por fim:
$T=-250\frac{ln(2))}{ln(0,9)}=1644,7 anos$

Modelagem (equações diferenciais)

Modelagem (equações diferenciais)

Re: Modelagem (equações diferenciais)

Um fórum livre e democrático.