inequação-quociente

Como posso resolver esta questão: (x+1)^3 -1 > 1          
                                                (x-1)^3 +1

Você pode isolar os membros e resolver a inequação da seguinte forma:
Primeiro passo "multiplique cruzado" (tem de ter cuidado ao fazer isso numa inequação). Fica o seguinte:
(x+1)³= x³+3x²+3x+1 (I)
(x-1)³= x³-3x²+3x-1 (II)
Depois de resolver o binômio de Newton ali vem:
x³+3x²+3x+1-1>x³-3x²+3x-1+1
Daí vem:
(x³-x³)+(3x²+3x²)+(3x-3x)+0+0>0 (III)
Portanto
6x²>0 => x>0 (IV)
Cuidado agora, pois há uma condição de existência para essa função que é x<>1 (x diferente de 1), pois não há sentido em dividir um número por 0.
Logo x>0 e diferente de 1 (essa é a resposta).

**Adendo: como dito antes que é bom ter cuidado quando for fazer a multiplicação cruzada numa inequação, você deve depois dos cálculos conferir a resposta para um 01 (pois você deve saber que se a>b (1/a)<(1/b), e dentre outras)
se x=1/2 => [(2,5)³-1]/[(0,5)³+1] e isso é facilmente observado ser maior que 1.
se x=2 (pode ser 2,20,5000,10000000, depende se vc quer ter mais trabalho ou não para realizar a conta) => [(3)³-1]/[(1)³+1] que também é maior que 1.**
Pronto, essa é uma maneira de resolver a inequação
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Complementando a parte IV:
Se aplicamos um x negativo à equação de modo que seja suficientemente grande para ser negativo tanto no numerador quanto no denominador (para ser maior que +1, o numerador e o denominador juntos tem que ser positivos ou negativos para que a divisão resulte em um número positivo), esse x deve ser x<(-1), mas se observarmos a função, será um número em cima, dividido por um maior em baixo, ou seja a/b<1, portanto a resposta é realmente:
x>0 sendo x diferente de 1

Olá.

[(x+1)³-1]/[(x-1)³+1] - 1 > 0

.(x+1)³ -1 = (x+1-1)*[ (x+1)² + (x+1)*1 + 1² ] .:. x*(x²+2x+1+x+1 +1) .:. x*(x²+3x+3)
.(x-1)³+1 = (x-1+1) * [(x-1)² - (x-1)*1 + 1²] .:. x*(x²-2x+1 - x + 1 + 1) .:. x*(x²-3x+3)

Logo, para x diferente de zero, temos:

(x²+3x+3)/(x²-3x+3) - 1 > 0 .:. (x²+3x+3-x²+3x-3)/(x²-3x+3) > 0 .:.
6x/(x²-3x+3) > 0 .:. 6x/(x²-3x+3) > 0

Como as raízes de x²-3x+3 pertencem aos complexos, devemos analisar apenas o sinal de 6x. Logo:

6x > 0 .:. x > 0 -->  S{x > 0 }

Att.,
Pedro

Vale ressaltar também que x é diferente de 1 Pedro, afinal, ela é descontínua nesse ponto.

Não é necessário x ser diferente de 1, rondonia01. Quando x = 1 não temos nenhuma indeterminação.

Verdade, é diferente de 0, não me lembrei que tava somando 1 =)

muito obrigado!!