Questão ITA-1987

Um bloco de madeira de massa M está oscilando horizontalmente sobre uma mesa sem atrito, sob a ação de uma mola de constante elástica k. A amplitude de sua oscilação é A. Quando a elongação da mola é máxima, o bloco é atingido por uma bala de massa m, viajando horizontalmente. A bala se engasta instantaneamente no bloco e a amplitude do movimento passa a ser 2A.
   Pedem-se:
a.) A velocidade v da bala antes de atingir o bloco;
b.) A máxima velocidade que o sistema atingirá após o choque;
c.) A quantidade de calor gerada no choque, supondo que toda a energia dissipada se transforme em calor.

resposta:

a.) A/m.√3k.(m+M);  b.) V=2A.√k/(m+M);  c.) Q=3ka²M/2m

a)

Seja v a velocidade da bala antes de atingir o bloco e v' sua velocidade após atingi-lo. A colisão é perfeitamente inelástica, indicando que a velocidade do sistema após a colisão é também v'. Aplicando o Princípio da Conservação da Quantidade de Movimento:

mv + M.0 = mv' + Mv' -> v = [(M+m)/m] . v' (I)

Após a colisão, a energia mecânica do sistema passa a ser K(2A)²/2 = 4A²K/2. 
Na abscissa x = A, há energia potencial elástica de Ep = KA²/2 e energia cinética (M+m)v'²/2. 

Em = Ep + Ec -> 4A²K/2 = KA²/2 + (M+m)v'²/2 -> (M+m)v'² = 3A²K -> v' = A . {\/[3K/(M+m)]} (II)

Fazendo (II) em (I), determinamos v, a velocidade da bala antes de atingir o bloco:

v = [A . (\/3k) (M+m)] / {\/[(M+m)] . m }

v = {A.\/[3k.(M+m)]} / m



b) O sistema atinge velocidade máxima quando sua energia cinética se iguala à sua energia mecânica:

Ec = Em -> (M+m).v''² / 2 = 4A²K/2 -> v'' = \/{4A²K / (M+m)} 

v(máx) = 2A . \/[K/(M+m)]



c) Precisamos calcular a quantidade de energia (Ed) dissipada na colisão. Se Ei é a energia total do sistema antes da colisão e Ef é sua energia final:

Ed = Ef - Ei

Como Ef é a energia mecânica do sistema após a colisão: 
Ef = 4A²K/2

E Ei é a soma da energia mecânica da bala e do oscilador antes da colisão:

Ei = mv²/2 + KA²/2

Portanto:

Ed = 3A²K/2 - mv²/2 = (3A²K - mv²) / 2

Substituindo o resultado encontrado em a):

Ed = {3A²K - [m.A².3k (M+m) / m²]}/2 = [3kA²m² - 3kA²(M+m)m]/2m² = m.{3kA²m - 3kA²(M+m)}/2m² = 3KA².(m - M - m) / 2m

Ed =  - 3kA²M / 2m

O resultado encontrado é negativo pois, de fato, Ef < Ei (há dissipação de energia, pois o coeficiente de restituição da colisão é menor que 1)

Logo, a quantidade de energia dissipada na colisão é Ed = 3kA²M/2m

obrigada