Questão Unicamp/1987

(Unicamp-sp) A região hachurada na figura representa um perfil de asa de avião cujo bordo é composto de uma semicircunferência de diâmetro CE e de dois arcos de circunferência ED e CD, tendo as circunferências o mesmo raio R: alem disso, os arcos ED e CD sublendem ângulos centrais EAD e CBD de mesma medida. 

a) se δ  é a medida do angulo ABC na figura, mostre que  α = δ (se você não fizer esta parte da questão, admita que  α = δ e faça a segunda metade da questão). 

b)calcule a área da parte hachurada em função de R e a

Acho que o desnho é esse . Talvez ajude para quem vai encarar.

Chamando A de área dos arcos de cincurferências temos que :
 
A = A₃  + A₂
 
A₄ =  A – A₃ – A₁  
 
A₄ = A₃  + A₂ – A₃  - A₁
 
A₄  = A₂ – A₁
 
   
Portanto a área hachurada seria a área do semicírculo hachurado ( A₅ ) somada a ( A₂ –  A₁ ). Mas não consegui deduzir a área dos triângulos mesmo usando artifícios como lei dos senos por exemplo. Também não consegui deduzir o raio do semicírculo A₅

Pmanfredo,
Eu joguei a toalha nesse exercício , pq não me atrevo a fazer esses cálculos , mas vou deixar aqui, algumas coisas que consegui ver.
A área S é simplemente a área do triâng. EDC.  (veja a figura).
Fazendo concluímos que o diâmetro do círculo EC=AE-BD  

Quem é "a"? ( alternativa b)

Manfredo, não sei se a solução ainda te interessa...

:bball: Bhá!

obrigado, Raimundo.

Muito obrigado pela belíssima solução Medeiros!

Um colega nosso enviou-me Mensagem Privada -- e por isso não vou identifica-lo -- questionando, com pertinência, a linha onde digo que os ângulos
ADE + EDB = AED + EDA + ADB.

Realmente, aí tem erro. E para ficar claro a todos os participantes, transcrevo a resposta que dei.
- - - - - - - - - - - - - - - - -

Grato pelo interesse. Mas teria sido mais útil ao fórum (todos os nossos colegas) se você tivesse questionado no próprio tópico.

Foi erro meu de escrita. Só percebi depois que postei a figura mas achei que, seguindo a lógica da solução, todos perceberiam com facilidade. E não substituí a figura porque não a tinha mais -- depois que posto, apago a figura do meu tablet pois não tenho como a editar -- eu teria que importar a figura do tópico, pintar de branco a parte errada, sobrescrever nela, regravar e novamente fazer upload; este processo introduz perda de definição na figura, os traços ficam borrados e as letras ficam grossas.

O correto é:
AÊD + E^DB = AÊD + (E^DA + A^DB)
Note, pelo desenho, que E^DB = E^DA + A^DB. Ou seja, fazemos o caminho AEDB em ângulos e meu objetivo nisso era estudar a posição relativa entre os segmentos AE e BD pois queria provar que são paralelos.
O resultado disto é igual a beta + beta + alfa que, como já sabemos (do triângulo ADE), vale 180°.