Equação matricial

por dudsliver1 Qua 12 Fev 2014, 21:33

$\begin{bmatrix} cos\, a & sen\, a \\ -sen\, a & cos\, a\end{bmatrix} X = \begin{bmatrix} cos\, 2a\\ sen\, 2a \end{bmatrix}$

gabarito: $X =\begin{bmatrix} cos\, 3a\\ sen\, 3a \end{bmatrix}$

agradeço quem puder ajudar =]

por PedroCunha Qui 13 Fev 2014, 15:00

Olá.

Da regra da multiplicação de matrizes, X deve ter uma 2 linhas e uma coluna, ou seja:

X = [ x ]
[ y ]

Fazendo a multiplicação:

$\begin{pmatrix} \cos a & \sin a \\ -\sin a & \cos a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos 2a \\ \sin 2a \end{pmatrix} \\\\ \begin{pmatrix} x \cdot \cos a + y \cdot \sin a \\ -x \cdot \sin a + y \cdot \cos a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos 2a \\ \sin 2a \end{pmatrix} \\\\\begin{cases} x \cdot \cos a + y \cdot \sin a = \cos 2a \dots I \\ -x \cdot \sin a + y \cdot \cos a = \sin 2a \dots II \end{cases} \\\\ \text{Fazendo } \cos a \cdot I - \sin a \cdot II: \\\\ x \cdot \cos^2a + y \cdot \sin a \cos a + x \cdot \sin^2a - y \cdot \sin a \cos a = \cos (2a) \cdot \cos a - \sin (2a) \cdot \sin a \\\\ x \cdot (\sin^2a + cos^2 a) = \cos(2a) \cdot \cos a - \sin (2a) \cdot \sin a \therefore x = \cos(2a) \cdot \cos a - \sin(2a) \cdot \sin a \therefore \\\\ \text{Lembrando que } \cos (a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b, \text{temos :} \\\\ x = \cos (2a) \cos a - \sin (2a) \sin a \therefore x = \cos (3a) \\\\ \text{Fazendo } \sin a \cdot I + \cos a \cdot II: \\\\ x \cdot \sin a \cos a + y \cdot \sin^2a - x \cdot \sin a \cos a + y \cdot \cos^2a = \cos(2a) \sin a + \sin(2a) \cos a \therefore \\\\ y = \cos (2a) \sin a + \sin(2a) \cos a \\\\\text{Lembrando que: } \sin (a+b) = \cos a \sin b + \sin a \cos b, \text{ temos: } \\\\y = \cos(2a) \sin a + \sin(2a) \cos a \therefore y = \sin (3a) \\\\ \Leftrightarrow X = \begin{pmatrix} \cos (3a) \\ \sin(3a) \end{pmatrix}$

Att.,
Pedro

por dudsliver1 Qua 19 Fev 2014, 02:51

Obrigado pedro =D

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