Calcule as coordenadas do ponto M

215. Num triângulo ABC, no qual A(2, 1), B(0, 3) e C(-1, 0), toma-se M na reta BC tal que as áreas dos triângulos AMC e AMB ficam na razão de 1/4. Calcule as coordenadas do ponto M. 

Resposta: M(-4/3, -1) ou M(-4/5, 3/5)

O que eu fiz: 
Calculei a área total do triângulo, encontrei 4.
Calculei a área de AMC, supondo o ponto M(x, y). 
Calculei a área de AMB. 
Fiz AMC/AMB = 1/4, gerei uma equação. 
Fiz 4AMC + AMC = 4 -> 5AMC = 4, gerei outra equação.
Os resultados encontrados através do sistema não batem com os resultados do livro. Estou fazendo algo linear? 
Acredito que meu problema esteja no raciocínio para desenvolver a questão. 

Fundamentos de Matemática Elementar 7 - Geometria Analítica - 5º Edição - Gelson Iezzi - Questão 215.

Um modo mais fácil

Seja h a altura do triângulo ABC, em relação ao vértice A
Esta altura é a mesma dos triângulos AMB e AMC

Área de AMB = MB.h/2
Área de AMC = MC.h/2

MB  = 4.MC

Supondo M entre B e C, trace MP perpendicular ao eixo y e MQ ao eixo x

No triângulo retângulo BOC:

OQ = xM ----> PO = yM ----> PB = 3 - yM

Como MB = 4.MC ---> PB = 4.PO ---> 3 - yM = 4.yM ---> yM = 3/5

yM/(xM - 1) = 3/1 ----> 3/5 = 3.xM - 3 ----> xM = - 4/5

Proceda de modo similar para o ponto M externo a BC

Olá.

Reta BC:

m = (0-3)/(-1-0) .:. m = 3
y - 0 = 3 * (x+1)
y = 3x + 3

Ponto M: (x, 3x+3)

Área do triângulo AMC:

*det (A,M,C):

| 2    1      1| 2     1
| x  3x+3  1| x  3x+3
| -1   0      1 -1   0

6x + 6 - 1 +3x + 3 - x .:. 8x + 8

S(AMC) = | 8x+8 |/2

Área do triângulo AMB:

*det (A,M,B):

|2    1     1|2   1
|x  3x+3 1|x  3x+3
|0    3     1|0   3

6x + 6 + 3x - 6 - x .:. 8x

S(AMB) = |8x|/2

Do enunciado:

S(AMC)/S(AMB) = 1/4 .:. (|8x+8|/2)/(|8x|/2) = 1/4 .:. 4*|8x+8| = |8x|

Dois casos:

4*(8x+8 ) = 8x .:. 32x + 32 = 8x .:. 24x = - 32 .:. x = -4/3

ou

4*(8x+8 ) = -8x .:. 32x + 32 = -8x .:. 40x = -32 .:. x = -4/5

Logo: y = -1 ou y = 3/5 e portanto: M(-4/3,-1) ou M(-4/5,3/5)

Att.<
Pedro