Dúvida - Trigonometria 2

Eu estava vendo a resolução dessa questão:
Qual o menor valor assumido pela função f(x) = 2 sec x - sen x . tg x, se x varia no intervalo de (0,∏/2).
A resolução dada era a seguinte:


f(x) = 2sec x - sen x. tg x

f(x) = 2/cosx - sen x. sen x/cos x

f(x) = (2-sen²x)/cos x

f(x) = (2+cos²x-1)/cos x

f(x) = (1+cos²x)/cos x

f(x) = [(cos²x-1)²+2cos x]/cos x

f(x) = [(cos²x-1)²]/cos x +2
 
f(0) = 0 + 2 = 2


Quando eu estava acompanhando a resolução eu vi que f(x) = (1+cos²x)/cos x se transformou em f(x) = [(cos²x-1)²+2cos x]/cos x e não entendi como foi feita tal transformação. Alguém poderia me explicar?

Vou fazer da minha maneira:

f(x) = 2secx - senx * tgx
f(x) = 2secx - (senx * senx/cosx)
f(x) = 2*1/cosx - sen²x/cosx
f(x) = (2 - sen²x)/cosx --> Valor mínimo é quando sen²x é mínimo e cosx máximo

Veja:

sen²x --> Nunca vai ser negativo, portanto o menor valor possível é 0.
cos x --> Maior valor possível 1.

Se senx = 0, cosx = 1 e x pertence ao primeiro quadrante, x = 0. Substituindo:

f(x) = (2 - 0)/1
f(x) = 2

Ok?

Att.,
Pedro

¹Quanto a sua dúvida:

(1+cos²x)/cosx = [(1+cosx)² - 2cosx]/cosx 

A transformação que foi feita está errada. Basta desenvolver para ver:

[(cos²x-1)² + 2cosx]/cosx = [(cos^4x - 2cos²x + 1 + 2cosx)]/cosx

Ok?

A transformação realmente está errada; o certo é

f(x) = (1 + cos²x)/cosx

f(x) = (1 + cos²x - 2.cosx + 2.cosx)/cosx

f(x) = [(cosx - 1)² + 2.cosx]/cosx

f(x) = (cosx - 1)²/cosx + 2

O valor mínimo de f(x) ocorre para x = 0:

f(x)mín = (1 - 1)²/1 + 2----> f(x)mín = 2