Nova Formula Sn P.A.!?

Olá pessoal por volta de 2008 enquanto estava tomando banho eu descobri uma fórmula para calcular Sn de uma P.A. diferente da fórmula de Gauss, então guardei o rascunho com um monte de papéis aqui, revirando os papéis ontem achei as anotações e tirei a prova, achei interessante compartilhar com vocês:





A Prova:



Como vcs podem ver na imagem acima (n-1) representa a quantidade de razões no cateto de um triângulo retângulo isósceles. Ao elevar (n-1)^2  que é um dos catetos acharemos um quadrado de r's, porém os x's são números que não precisamos, portanto subtrai-se (n-1) a diagonal central para que o resto seja divisível por 2 assim achamos a quantidade de r's dentro da área circular verde (esse processo esta limitado dentro do colchete verde), depois adiciona-se novamente a diagonal (n-1) e multiplica pelo valor de r e finalizando adiciona a1*n que é um elemento presente em todos os termos da P.A. Mais tarde simplificando chega-se a conclusão de que ao invés de subtrair a diagonal (n-1) eu a somasse obteria o mesmo resultado, entretanto se não tivesse seguido inicialmente pela lógica mais difícil não teria conseguido chegar a versão mais simples, que está longe de ser tão simples quanto a fórmula de Gauss. Acho que a fórmula em si não é muito prática por usar o r, mas o interessante é o raciocínio para chegar nela, usa um pouco de geometria com P.A. e isso é legal .