Integral definida com e^(x²+1)

por Minoanjo Qua 27 Nov 2013, 00:29

Não estou sabendo integrar com esta soma no expoente. Alguém pode me ajudar?

Integral definida com e^(x²+1) %5CLARGE%5C%21%5Cint_0%5E2%7Be%5E%7Bx%5E2%2B1%7D%7D%20dx

Integral definida com e^(x²+1) %5CLARGE%5C%21%5Cint_0%5E2%7Be%5E%7Bx%5E2%2B1%7D%7D%20dx

por **Euclides** Qua 27 Nov 2013, 01:53

Essa integral não pode ser calculada por métodos tradicionais. Pode-se obter uma aproximação pelo desdobramento em uma série infinita de potências.

$\\\int e^{x^2+1}dx=e\int e^{x^2}dx\\\\e^{x^2}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{n!}\;\;\to\;\;e\int e^{x^2}dx=e\sum_{n=0}^{\infty}\int \frac{x^{2n}}{n!} =\left (e\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{n!(2n+1)} \right )\\\\\\\Rightarrow \int_0^2 e^{x^2+1}dx\approx\left (e\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{n!(2n+1)} \right )_0^2\;\;\to\;\;\boxed{e\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{2n+1}}{n!(2n+1)} }$