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Triângulo dentro de um quadrado

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PiR2 :: Matemática :: Geometria Plana e Espacial

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Triângulo dentro de um quadrado

por Giiovanna Ter 22 Out 2013, 19:46

Dado um quadrado de lado L, é possível afirmarmos que a maior área possível de um triângulo cujos vértices estão dentro do quadrado (incluindo seu bordo) é L^2/2 ? Ou seja, a área de tal triângulo nunca excede metade da área do quadrado?

Obrigada Very Happy

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Re: Triângulo dentro de um quadrado

por kakaroto Ter 22 Out 2013, 20:21

Sim, tenho isso como verdade!

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Re: Triângulo dentro de um quadrado

por Giiovanna Ter 22 Out 2013, 20:30

Prova?

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Re: Triângulo dentro de um quadrado

por kakaroto Ter 22 Out 2013, 20:37

Com a imposição de que o triângulo está inscrito no quadrado, temos que sua maior área será quando alcançarmos os maiores valores para sua altura e sua base, pois A=h.b/2, logo pelo fato da inscrição, o maior valor de área que chegaremos do triângulo será quando sua base=L e sua altura=L, configurando um triângulo isóceles de área L^(2)/2.

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Re: Triângulo dentro de um quadrado

por Giiovanna Ter 22 Out 2013, 20:46

Oi, obrigada por responder.

Estou tentando argumentar de forma similiar (diria idêntica), e por isso faço uma ressalva quanto ao seu argumento (acredito que esteja correto, mas é algo que eu vejo faltando no meu): Um dos maiores lados possíveis para o triângulo não é L, mas sim a diagonal do quadrado. Assim, me parece que basta, agora, maximizarmos a altura (que deve ser a metade da diagonal do quadradoe assim devemos chegar exatamente no mesmo triângulo de lados L).

Apesar de correto, não vejo como isso é suficientemente rigoroso.

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Re: Triângulo dentro de um quadrado

por kakaroto Ter 22 Out 2013, 20:52

Na sua resposta vc só mudou a base né, vc toma a base como sendo a hipotenusa do isóceles, e a altura como metade da diagonal, mas área é a mesma, de nada.

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Re: Triângulo dentro de um quadrado

por Giiovanna Ter 22 Out 2013, 20:57

Sim, a área é a mesma. Mas o que estou dizendo é que, se você notar, maximizar é relativo, pois no caso qe e pego, apesar de eu não pegar os dois maiores possíveis pares de lados (eu digo, em conjunto) a área não ultrapassa L^2/2. Pegamos casos bem particulares.

Acho que seria mais completo o artumento se, dada uma aresta de tamanho máximo a diagonal do quadrado, mostrassemos que a altura relativa à essa aresta que maximiza a área não deixa que a área ultrapasse L^2/2. Ou ainda mostrar que a área de todos os demais triângulos são menores ou igual à desse triângulo grande. Mas Talvez seja um pouco de preciosismo da minha parte.

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Re: Triângulo dentro de um quadrado

por kakaroto Ter 22 Out 2013, 21:45

Sim entendi, mas acho que não posso fazer mais nada, hehe.

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Re: Triângulo dentro de um quadrado

por Chronoss Dom 01 Dez 2013, 18:01

Vejam se concordam:

Possível Prova:: (I) :
Inicialmente notemos que marcando 3 pontos distintos A,B e C no interior dos lados (excluídos os vértices) de um quadrado PQRS temos 4 figuras geométricas planas :
F(1) : Triângulo ABC ; F(2) : Triângulo SAB ; F(3) : Triângulo PAC ; F(4) : Trapézio retângulo CQRB .
( A ∈ PS ; B ∈ RS ; C ∈ PQ )
*Arbitrariamente escolhidos , e sem perdas ( pois os outros casos também serão cobertos nas etapas posteriores) .

Como é sabido :
A Área do trapézio é dada por : [( base maior + base menor )/2] * (altura) ; e a do triângulo é dada por [(base * altura)/2].
Logo como :

CQ = L - PC ; (altura) H = L ; e BR = L - SB , ( sendo L a medida do lado do Quadrado PQRS ) .

Temos :

$A(CQRB) \: =\: \, \frac{\left ( 2L\: -\: \left ( PC\: +\: SB \right ) \right )\cdot L}{2}\:\:$

$A(SAB)\: =\: \frac{SA\cdot SB}{2}\: \:$

$A(PAC)\: =\: \frac{PA\cdot PC}{2}\:$

Desse modo supondo PC > SB (sem perda) , temos que :

$A(ABC)>\frac{L^{2}}{2}\Leftrightarrow A(CQRB)+ A(SAB) + A(PAC) < \frac{L^{2}}{2}$

$\Leftrightarrow L^{2} -\, \frac{L\cdot \left ( PC+SB \right )}{2}\,+\, \frac{SA\cdot SB}{2}\, +\, \frac{PA\cdot PC}{2}\: <\, \frac{L^{2}}{2}\,$

$\Leftrightarrow L^{2}-L\cdot \left ( PC+SB \right )\, +\, \underset{\bigstar }{SA\cdot SB+PA\cdot PC}\, < \, 0$

$\Leftrightarrow \, L^{2}-L\cdot \left ( PC+SB \right )\, +\,\, \underset{\bigstar }\left ({ L\cdot SB\, +\, PA\cdot \left ( PC-SB \right \right ))}\: < \, 0 \,$

$\large \Leftrightarrow \underset{+}{L^{2 }}- \underset{\left (PC<L \right )}{L\cdot PC} +\, \underset{ambos \, \, positivos}{PA\cdot \left ( PC-SB \right )}\, <\, 0\, .\, (falso!)$

$\large \therefore \, A(ABC)\,\, < \, \, \frac{L^{2}}{2}$

Obs: A passagem ( $\bigstar$ ) se da porque a soma da área do retângulo de lados SA e SB mais a área do retângulo de lados PA e PC ser igual a dada ( retângulo de lados : L , SB e retângulo de lados : PA , (PC - SB) ) .

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

(II):

Para o caso em que um dos pontos coincide com um dos vértices de PQRS , digamos A=P , temos :

( B e C localizados em lados que não contém o vértice A , pois esse caso é trivial )

F(1) : Triângulo ABS ; F(2) : Triângulo ACQ ; F(3) : Triângulo BCR ; F(1) : Triângulo ABC .

( B ∈ RS e C ∈ QR )

Donde :

$\large A(ABS)=\frac{L\cdot BS}{2}\: \: ;\: \: A(ACQ)=\frac{L\cdot CQ}{2}\: \: \: ;\: \: A(BCR)=\frac{\left ( L-BS \right )\cdot \left ( L-CQ \right )}{2}$

Portanto:

$A(ABC)>\frac{L^{2}}{2}\Leftrightarrow \, A(ABS)+A(ACQ)+A(BCR) < \frac{L^{2}}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{L\cdot BS}{2}+\frac{L\cdot CQ}{2}+\frac{\left ( L-BS \right )\cdot \left ( L-CQ \right )}{2}\, < \, \frac{L^{2}}{2}$

$\Leftrightarrow L\cdot BS\, +\, L\cdot CQ\, +\, \left ( L-BS \right )\cdot \left ( L-CQ \right ) \, \, < \, \, L^{2}$

$\Leftrightarrow L\cdot BS\, +\, L\cdot CQ\, +\, L^{2}\,\,- L\cdot BS\, \, -L\cdot CQ\, \, +\, BS\cdot CQ < \, \, L^{2}$

$\Leftrightarrow L^{2}\, \, +\, \, BS\cdot CQ\: \, <\, \, L^{2}\:\: \Leftrightarrow \:\: BS\cdot CQ\: <\: \, 0\: .\: \: (falso!)$

$\large \therefore \, A(ABC)\,\, < \, \, \frac{L^{2}}{2}$

------------------------------------------------------------------------------------------------------

(III):

Veja que para o caso de B , C pertencerem a um mesmo lado do quadrado temos :

$A\left ( ABC \right )\: =\: \frac{BC\cdot H}{2}$

Mas :

$0\, <H\, \leq \, L\: \: \, \, \: \: \: e\: \: \: \: \: \: 0\, <\, BC\, \leq \, L$

Portanto :

$A\left ( ABC \right )\: =\: \frac{BC\cdot H}{2}\, \: \: \leq \: \: \frac{L^{2}}{2}$

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

(IV) :

O caso em que a medida de um dos lados do triângulo ABC é igual a medida da diagonal do PQRS é trivial , pois isto ocorre somente quando BC coincide uma das diagonais .

Portanto:

∆ABC ⊂ ∆ PQS ou ∆ABC ⊂ ∆PQR .

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Re: Triângulo dentro de um quadrado

por Chronoss Qui 05 Dez 2013, 19:10

Oque acharam ? Concordam com a resolução que postei para o problema?

E outra , você que bolou a questão Giovanna ?

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Re: Triângulo dentro de um quadrado

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