ITA - Gravitação

por Guilherme_Rodrigues Qua 16 Out 2013, 14:22

Uma casca esférica tem raio interno R1, raio externo R2 e massa M distribuída uniformemente. Uma massa puntiforme m está localizada no interior dessa casca, a uma distância d de seu centro
(R1 < d < R2). O módulo da força gravitacional entre as massas é:
RESPOSTA: GMm(d³ - R₁³)/[d²(R₂³ - R₁³)] ITA - Gravitação 9rmg

por **Euclides** Qua 16 Out 2013, 15:17

Somente a massa contida entre d e R₁ exercerá atração gravitacional sobre m.

ITA - Gravitação 114

1) volume contido pela distância d

$V_c=\frac{4\pi}{3}(d^3-R_1^3)$

2) massa específica da casca esférica

$\rho=\frac{M}{\frac{4\pi}{3}(R_2^3-R_1^3)}$

3) massa total do volume contido

$m=\frac{M}{\frac{4\pi}{3}(R_2^3-R_1^3)}\times \frac{4\pi}{3}(d^3-R_1^3)\;\;\;\Rightarrow \;\;\;m=\frac{M(d^3-R_1^3)}{R_2^3-R_1^3}$

4) força gravitacional

$F=\frac{GMm(d^3-R_1^3)}{d^2(R_2^3-R_1^3)}$

por Guilherme_Rodrigues Qua 16 Out 2013, 16:23

Muito obrigado pela ajuda, euclides!

por Dany R R Sáb 16 maio 2015, 15:44

"Somente a massa contida entre d e R₁ exercerá atração gravitacional sobre m." Não estou conseguindo entender Neutral

Essa questão tem alguma relação com o Teorema das cascas de Newton?

por **Euclides** Sáb 16 maio 2015, 15:57

Dany R R escreveu:"Somente a massa contida entre d e R₁ exercerá atração gravitacional sobre m." Não estou conseguindo entender
Essa questão tem alguma relação com o Teorema das cascas de Newton?

Sim.

por Dany R R Sáb 16 maio 2015, 16:02

Mestre Euclides, será que você poderia explicar detalhadamente?

por **Euclides** Sáb 16 maio 2015, 16:11

Detalhadamente exige o uso de cálculo integral. Por enquanto, aceite a afirmação que:

"uma casca esférica não exerce força gravitacional no seu interior"

em outras palavras: somente a massa delimitada pelo raio de posição exerce força gravitacional sobre um corpo colocado nessa posição.

Quem conhece o cálculo pode acompanhar a demonstração em

http://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_das_cascas_esf%C3%A9ricas

por Dany R R Sáb 16 maio 2015, 16:16

Ok, obrigada Euclides Wink

por fernandaaaaaaaaaa Sex 23 Jun 2023, 09:09

4) força gravitacional

$gif.latex?F=\frac{GMm(d^3-R_1^3)}{d^2(R_2^3-R_1^3)}$

Esse m e d² se referem a que ponto? Seria um ponto qualquer? Eu fiquei confusa quanto essa parte do enunciado: ''O módulo da força gravitacional entre as massas é''. A que outra massa ele se refere, além da expressa no desenho?

Muito obrigada!

por **Elcioschin** Sex 23 Jun 2023, 12:01

Este ponto é onde está a massa m na figura, distante d do centro da casca. É um ponto qualquer, dentro da casca: R1 < d < R2

A força gravitacional pressupõe duas massas; por exemplo a massa m de uma pessoa e a massa M de um planeta

Nesta questão a massa M corresponde à massa da casca esférica no intervalo [R1, d]

Fórmula básica da gravitação, para pontos na superfície ou acima dela --->

F = G.M.m/d² ---> Na supefície ---> F = G.M.m/R²

Imagine agora outra situação: Um túnel é cavado na superfície da Terra, em direção ao seu centro. Imagine que o túnel tenha metade do comprimento do raio R da Terra.
Qual será a força gravitacional que atrai um corpo de massa m colocado no fundo do túnel?

Neste caso, a massa a ser considerada não é mais a massa M da Terra; é a massa M' da esfera da Terra de raio R' = R/2

V = (4/3).pi.R³ ---> I

V' = (4/3).pi.(R/2)³ ---> V' = (1/8).[(4/3).pi.R³] ---> V' = V/8

Considerando a densidade da Terra uniforme, M' = M/8

F' = G.M'.m/R'² ---> F' = G.(M/8).m/(R/2)² ---> F' = F/2