[Dúvida] CN -1978, Polígonos convexos

por Convidado Qui 03 Out 2013, 18:22

A diferença entre o número de diagonais de dois polígonos convexos é 29, e a diferença entre as somas dos ângulos internos destes polígonos é de 360º. A soma dos lados dos dois polígonos é:
A - 22
B - 28
C - 32
D - 36
E - 35

por **Jose Carlos** Qui 03 Out 2013, 19:29

número de diagonais de um polígono convexo -> d = [ n*( n - 3 ) ]/2

soma dos ângulos internos de um polígono convexo -> Si = ( n - 2 )*180°

daí:

polígono 1 -> d1 =[ n1*( n1 - 3 ) ]/2

polígono 2 -> d2 = [ n2*( n2 - 3 ) ]/2

S1 = ( n1 - 2 )*180°

2 = ( n2 - 2 )*180°

então:

..............n1*( n1 - 3 )......n2*( n2 - 3 )
d1 - d2 = -------------- - --------------- = n1² - 3*n1 - n2² + 3*n2
......................2....................2

n1² - 3*n1 - n2² + 3*n2 = 58 (I)

S1 - S2 = ( n1 - 2 )*180° - ( n2 - 2 )*180°= 360°

180°*n1 -180°*n2 = 360°

n1 - n2 =2 -> n1 = 2 + n2

levando em (I):

( n2 + 2 )² - 3*( n2 + 2 ) - n2² + 3*n2 = 58

n2 = 15 -> n1 = 17

n2 + n1 = 32

por ClaudioFrancis1 Qui 03 Out 2013, 19:33

residentevil2 escreveu:A diferença entre o número de diagonais de dois polígonos convexos é 29, e a diferença entre as somas dos ângulos internos destes polígonos é de 360º. A soma dos lados dos dois polígonos é:
A - 22
B - 28
C - 32
D - 36
E - 35

Qual é a dúvida? Obs.: Eu postei alguns segundos depois do mestre José, só vou enviar para não fica uma resolução 'perdida'.

n(n-3)/2 - y(y-3)/2 = 29

180(n-2) - 180(y-2) = 360 ===> n - 2 - y + 2 = 2 ===> n - y = 2

Sendo:

n = o número de lados do polígono 1
y = o número de lados do polígono 2

n(n-3)/2 - y(y-3)/2 = 29
n(n-3) - y(y-3) = 58

Substituindo:

(y+2)(y-1) - y(y-3) = 58
~~y^2~~ + 2y - y - 2 ~~- y^2~~ + 3y = 58
4y - 2 = 58
4y = 60
y = 15

n = y + 2
n = 15 + 2
n = 17

15 + 17 = 32

Letra (C)