Indução

Dado x diferente de zero um número real (ou x um elemento de um corpo ordenado K) e n um número natural, prove que 


Obs: Não precisa fazer, necessariamente, por indução

De fato, 1 e 2nx são os dois primeiros termos da expansão do binômio à direita. Bastaria, então, mostrar que o restante do binômio continua positivo.

Luck, agradeço a resposta, mas a desigualdade de Bernouilli (que, inclusive, é dada no livro do Elon antes dessa que eu coloquei) é utilizada para números maiores que -1.

Não vejo como generalizar isso para o restante dos números negativos. 
De fato, a desigualdade é imediata para números positivos, mas para os demais não estou conseguindo fazer dessa mesma maneira que se prova a desigualdade de Bernouilli. 

Multiplico por (1+x)^2 dos dois ldos (esse é o motivo por que não importa x ser ou não positivo) mas não estou conseguindo mostrar que (1+2nx)(1+x)^2 >
> 1 + 2(n+1)x.

Talves esteja fazendo uma conta errada, mas tem um termo em x^3 me atrapalhando

Giiovanna escreveu:Luck, agradeço a resposta, mas a desigualdade de Bernouilli (que, inclusive, é dada no livro do Elon antes dessa que eu coloquei) é utilizada para números maiores que -1.

Não vejo como generalizar isso para o restante dos números negativos. 
De fato, a desigualdade é imediata para números positivos, mas para os demais não estou conseguindo fazer dessa mesma maneira que se prova a desigualdade de Bernouilli. 

Multiplico por (1+x)^2 dos dois ldos (esse é o motivo por que não importa x ser ou não positivo) mas não estou conseguindo mostrar que (1+2nx)(1+x)^2 >
> 1 + 2(n+1)x.

Talves esteja fazendo uma conta errada, mas tem um termo em x^3 me atrapalhando

Nem tinha reparado que havia esse detalhe , malz.. 

se x for negativo e menor que -1 é fácil ver que (1+x)^2n > 1 + 2nx , pois o lado esquerdo é sempre positivo por estar elevado à expoente par e o direito negativo pois n é natural.
por indução, x = 1 , (1+x)^2n > 1 + 2nx ok
supondo válido para n , (1+x)^(2n) > 1 + 2nx (I)
n -> n+1 , (1+x)^[2(n+1)] > (1+2(n+1)x)
multiplicando (I) por (1+x)² :
(1+x)^[2(n+1)] > (1+2nx)(1 + 2x + x²)
(1+x)^[2(n+1)] > 1 +2x + x² + 2nx + 4nx² + 2nx³
(1+x)^[2(n+1)] > 1 + 2(n+1)x + x²[ (1+4n) + 2nx ] 
(1+x)^[2(n+1)] > 1 + 2(n+1)x + k
agora note que se x for negativo e estiver entre -1 e 0 , (1+4n) > |2nx| , pois n é natural , logo k é > 0.
para x positivo , k > 0 o que completa a indução.

Obrigada, Luck. Estava faltando só essa parte do negativo.

Pro positivo, poderiamos usar algo mais imediato, mas que não é de ensino médio: 

Pelo binômio de Newton


Assim, bastaria mostrar que 


Como R é um corpo ordenado (originalmente, o exercício não cita R, mas sim um corpo ordenado K), então o somatório, que é uma soma de elementos do conjunto dos números positivos P de K deve pertencer à P, ou seja, é maior que zero simplesmente pois este é um axioma.

De qualquer forma, a prova por indução é bem imediata e não precisa dessa teoria toda. Mas fica como curiosidade

Até