Indução
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Chronoss- Jedi
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Re: Indução
por Wilson Calvin Ter 02 Jul 2013, 22:28
para n ≥ 10 a propriedade é válida. (condição principal)
testando 10^3 < 2^10 (correto)
para um número k que atenda nossa condição.
k^3 < 2^k (hipótese)
então.
(k+1)^3 < 2^(k+1)
multiplicando os dois da hipótese por 2
(k^3).2 < 2^(k+1) ou seja 2^(k+1) > k^3 + k^3
para qualquer valor k ≥ 10 isso é verdadeiro.
portando c.q.d
testando 10^3 < 2^10 (correto)
para um número k que atenda nossa condição.
k^3 < 2^k (hipótese)
então.
(k+1)^3 < 2^(k+1)
multiplicando os dois da hipótese por 2
(k^3).2 < 2^(k+1) ou seja 2^(k+1) > k^3 + k^3
para qualquer valor k ≥ 10 isso é verdadeiro.
portando c.q.d
Wilson Calvin- Matador
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Re: Indução
por Chronoss Qua 03 Jul 2013, 08:13
Ainda falta demonstrar que : k³ + k³ > (k + 1)³ --> (2)^(k + 1) > (k + 1)³
Chronoss- Jedi
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Re: Indução
por Wilson Calvin Qua 03 Jul 2013, 13:07
não vejo necessidade de deixar igual a tese, sendo que a condição principal já foi provada
Wilson Calvin- Matador
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Re: Indução
por Chronoss Qua 03 Jul 2013, 16:02
Ficou assim aqui : \,&space;>&space;1&space;\Rightarrow&space;\,&space;\,&space;entao\,&space;\,&space;\,&space;para\,&space;\,&space;\,k\,&space;\in&space;\,&space;\,&space;\as\mathbb{N}^{\ast&space;\,&space;\,&space;}\:&space;\:\wedge&space;\:&space;\:&space;\,&space;k>&space;1\:&space;\:&space;\:&space;,\:&space;\:&space;\:&space;k(k^{2}\,&space;-\,&space;3k\,&space;-\,&space;3\,&space;>&space;\,&space;1)\,&space;\,&space;;&space;\left&space;\:&space;\:&space;k(&space;k^{2}&space;\,&space;-3k\,&space;-4\,&space;>\,&space;0\right&space;)\,&space;\Rightarrow&space;\,&space;k^{2}&space;\,&space;-3k\,&space;-4\,&space;>\,&space;0\,&space;\,&space;,\,&space;\,&space;para\,&space;\,&space;\,&space;k>4\,&space;\,\:&space;\:&space;\vee&space;\:&space;\:&space;\,&space;k<-1&space;\,&space;\,&space;,\:&space;\:&space;e\:&space;\:&space;como&space;\:&space;\:&space;k\:&space;\in&space;\:&space;\mathbb{N}^{\ast&space;}\:&space;\:&space;\,&space;:\,&space;\,&space;k>4\,&space;\Rightarrow&space;\,&space;k(k^{2}\,&space;-3k\,&space;-3)\,&space;>\,&space;1\:&space;\:&space;,\,\:&space;para\,&space;\,&space;\,&space;k\geq&space;4 "k^{3}\, > \, 3k^{2}\, \, +\, \, 3k\, \, +\, \, 1\Rightarrow \, k^{3}\, \, -\, \, 3k^{2}\, \, -\, \, 3k\, \, >\, \, 1\Rightarrow \, k\left ( k^{2}\, -3k\, -3 \right )\, > 1 \Rightarrow \, \, entao\, \, \, para\, \, \,k\, \in \, \, \as\mathbb{N}^{\ast \, \, }\: \:\wedge \: \: \, k> 1\: \: \: ,\: \: \: k(k^{2}\, -\, 3k\, -\, 3\, > \, 1)\, \, ; \left \: \: k( k^{2} \, -3k\, -4\, >\, 0\right )\, \Rightarrow \, k^{2} \, -3k\, -4\, >\, 0\, \, ,\, \, para\, \, \, k>4\, \,\: \: \vee \: \: \, k<-1 \, \, ,\: \: e\: \: como \: \: k\: \in \: \mathbb{N}^{\ast }\: \: \, :\, \, k>4\, \Rightarrow \, k(k^{2}\, -3k\, -3)\, >\, 1\: \: ,\,\: para\, \, \, k\geq 4")
Logo :^{3}\:&space;\Rightarrow&space;\,\,&space;2^{k\,&space;+\,&space;1}\:&space;\,&space;>\:&space;\:&space;(k\,&space;+\,&space;1)^{3}\:&space;\:&space;,\:&space;pois&space;\:&space;\:&space;k\geq&space;10\,&space;. "2^{k\, +\, 1}\: \, >\, \:k^{3}\, \: +\: \,k^{3}\: \: >\: \: (k\, +\, 1)^{3}\: \Rightarrow \,\, 2^{k\, +\, 1}\: \, >\: \: (k\, +\, 1)^{3}\: \: ,\: pois \: \: k\geq 10\, .")
Que é necessário provar para a tese ser válida e, como consequência , a indução. Veja se concorda.
Logo :
Que é necessário provar para a tese ser válida e, como consequência , a indução. Veja se concorda.
Chronoss- Jedi
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