indução

por wstroks Dom 10 Mar 2013, 19:36

para todo n em N, n ≥ 2, prove que
$indução Gif.latex?\frac{2^{2}-1}{2^{2}}*\frac{3^{2}-1}{3^{2}}*\frac{4^{2}-1}{4^{2}}*..$

por Luck Dom 10 Mar 2013, 22:34

Por indução, para n = 2 : (2² - 1) / 2² = (2+1)/2.2 ok
supondo válido para n : [(2²-1)/2²][(3²-1)/3²] ... [(n²-1)/n²] = (n+1)/2n (I)
tese : [(2²-1)/2²][(3²-1)/3²] ... [(n²-1)/n²][((n+1)² - 1)/(n+1)²] = (n+2 )/(2n + 2)

multiplicando (I) por [((n+1)² - 1) / (n+1)²] , temos:
[(2²-1)/2²][(3²-1)/3²] ... [(n²-1)/n²][(n+1)² - 1) / (n+1)²] = [(n+1)/2n][(n+1)² - 1) / (n+1)²]

= [(n+1)² - 1]/2n(n+1)
= [ (n² + 2n + 1 - 1 )] /2n(n+1)
= [n(n + 2)]/2n(n+1)
= (n+2)/2(n+1)
= (n+2)/(2n+2), c.q.d

por wstroks Ter 12 Mar 2013, 19:27

Luck olha como foi feita essa resolução ..

(2+1)(2-1)(3+1)(3-1)(4+1)(4-1).... (n+1)(n-1)/(2*3*4*5...n)²

sendo assim 3*1*4*2*5*3*6*7*5.....(n+1)(n-1)/(2*3*4*5...n²)

vou permutar
3*4*5*6*7... (n+1)! 1*2*3*4*5...(n-1)/n! n!

sendo assim vou multiplicar por 2/2

2* 3*4*5*6*7... (n+1)! 1*2*3*4*5...(n-1)/2n! n!

vai ficar (n+1)! (n-1)!/2n! n!

(n+1)n! (n-1)!/2n! n(n-1)! = n+1/2n

por Igor Bragaia Qua 13 Mar 2013, 00:25

Ou ainda

2².3².4².5²...(n-1)²n²/(2²-1)(3²-1)(4²-1)...(n²-1)=
=(n!)²/[(2-1)(2+1)(3-1)(3+1)...(n-1)(n+1)]=
=(n!)²/{[(2-1)(3-1)(4-1)...(n-1)][(2+1)(3+1)(4+1)...(n+1)]}=
=(n!)²/{[1.2.3.4...(n-1)][3.4.5.6...(n+1)]}=
=(n!)²/{[(n!)/n][n!(n+1)/2]}=
=2n/(n+1)

por wstroks Qua 13 Mar 2013, 06:46

Igor Bragaia escreveu:Ou ainda

2².3².4².5²...(n-1)²n²/(2²-1)(3²-1)(4²-1)...(n²-1)=
=(n!)²/[(2-1)(2+1)(3-1)(3+1)...(n-1)(n+1)]=
=(n!)²/{[(2-1)(3-1)(4-1)...(n-1)][(2+1)(3+1)(4+1)...(n+1)]}=
=(n!)²/{[1.2.3.4...(n-1)][3.4.5.6...(n+1)]}=
=(n!)²/{[(n!)/n][n!(n+1)/2]}=
=2n/(n+1)

Bem legal a resolução , fiquei ontem tentando fazer de forma diferente .

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