Exercicio trigonometria

por 150nandu150 Qui 25 Jul 2013, 12:11

João e Maria costumavam namorar atravessando um caminho reto que passava pelo centro de um canteiro circular, cujo raio mede 5m. Veja a figura 1.

Certo dia, após uma desavença que tiveram no ponto de partida P, partiram emburrados, e, ao mesmo tempo, para o ponto de chegada C. Maria caminhou pelo diâmetro do canteiro João andou ao longo do caminho que margeava o canteiro (sobre o circulo), cuidando para estar, sempre, à "mesma altura" de Maria, isto é, de modo que a reta MJ, formada por Maria e João, ficasse sempre perpendicular ao diâmetro do canteiro. Veja a figura 2.

Quando a medida do segmento PM, percorrido por Maria, for igual a 7,5 = 5 + 5/2 metros, o comprimento do arco de circunferência PJ, percorrido por João, será igual a

a) 10.pi/3 m

b) 2.pi m

c) 5.pi/3 m

d) 2.pi/3 m

e) pi/3 m

R: A)

Se maria quando estava no centro da circunferência( 5 m), criava um arco de 90°, logo ela andou mais 2,5 metros, se 90° equivale a 5 metros 2,5 não seria 45° ?
Como eu posso provar que o arco formado por eles é de 120° para que A seja verdadeira?

por **Elcioschin** Qui 25 Jul 2013, 13:34

Trace o triângulo PMJ, retângulo em M e seja x = ângulo M^PJ

PM = 7,5 = 15/2 ---> OM = 2,5 = 5/2

Equação da circunferência com centro em O ----> x² + y² = 5²

Para x = OM = 5/2 ---> (5/2)² + JM² = 25 ---> JM² = 75/4 ----> JM = 5.\/3/2

tgM^PJ = JM/PM ----> tgx = (5.\/3/2)/(15/2) ----> tgx = \/3/3 ----> x = 30º

x é ângulo inscrito ----> arco JC = 2x ----> arco JC = 60º

arco PJ = arco PC - arco JC ----> arco PJ = 180º - 60º ----> arco PJ = 120º ---> arco PJ = 2pi/3

L = 2pi.R/3 ----> L = 2pi.5/3 ----> L = 10pi/3

por 150nandu150 Qui 25 Jul 2013, 14:28

Consegui encontrar uma maneira de provar a existência do angulo de 120° segue na figura, note que o resultado aparenta estar correto, o que acha?

Exercicio trigonometria Qavm