Molas cortadas.. O k é o mesmo?

Pessoal, estou com muita dúvida para fazer o exercício 86 do capítulo 15 do Halliday.
Uma mola uniforme com k=8600N/m é cortada em dois pedaços, 1 e 2, cujos comprimentos no estado relaxado são L1=7,0cm e L2=10cm. Qual é o valor de k1 e k2?
Um bloco preso na mola original (é um sistema horizontal), oscila com uma frequencia de 200 Hz. Qual é a frequencia de oscilação se o bloco for preso no pedaço 1? e no pedaço 2?


Cheguei a conclusão de que a massa do bloco em questão é aproximadamente 0,0054Kg. Agora não sei como acabar a resolução.
Grata!

Quando uma mola é cortada em dois pedaços de tamanhos diferentes as constantes de elasticidade de cada parte serão inversamente proporcionais aos seus comprimentos. A mola mais curta é mais rígida.



12.06.2013
14:24:34

Euclides por que quando a mola cortada ela é inversamente profissional?
Você pode provar?
Por que fez k1L1=kL

BatataDoFuturo escreveu:Euclides por que quando a mola cortada ela é inversamente profissional?
Você pode provar?
Por que fez k1L1=kL

Uma ideia intuitiva disso é que, como o professor Euclides já escreveu, a mola depois de cortada torna-se mais rígida. (A constante elástica é uma medida da "dureza" da mola: quanto maior ela for, maior deve ser a força aplicada para obter-se a mesma deformação.)
Uma forma muito direta de prová-lo seria através do coeficiente de Young, mas imagino que você não o conheça, por isso vamos com o que temos.
1. Imagine o seguinte: uma mola de constante elástica k é cortada em dois pedaços iguais. Qual será a constante elástica de cada nova mola?
Bom, parece razoável supor que, se amarrarmos as extremidades das novas molas, teremos recuperada a mola inicial (e, portanto, a sua constante elástica). Essa "amarração" é o que se chama associação em série.
Você certamente já sabe que esse tipo de associação é resolvido pela "soma dos inversos".
Portanto, a nova constante k' será tal que:
k_s = k \Rightarrow \frac{1}{k'}+\frac{1}{k'}= \frac{1}{k} \therefore \boxed{k' = 2k}
Ou seja, dividindo-se o comprimento da mola pela metade, dobra a sua constante elástica.
Ainda não provamos que essa proporcionalidade é válida para qualquer razão de secção.

2. É fácil notar que, se a mola for cortada em n partes iguais, a relação será análoga.
Digamos que cada nova mola tem constante k'. Associando-se todas em série, restaurar-se-á a mola de constante k.
\\ k_s=k \Rightarrow \frac{1}{k'}+...+\frac{1}{k'}=\frac{1}{k}\Rightarrow \frac{n}{k'}=\frac{1}{k} \therefore \boxed{k'=nk}
Portanto, ao reduzir-se à n-ésima parte o comprimento da mola, sua constante de elasticidade fica multiplicada por n.

3. Finalmente, dada uma mola de constante k e comprimento L, dividiremo-la em duas, cujos comprimentos representem frações p/n e q/n de L, isto é:
\\ L_1 = \frac{p}{n} \cdot L \\ L_2 = \frac{q}{n}\cdot L
e cujas constantes elásticas, k1 e k2, buscamos calcular.
É fácil perceber que, em vez de dividir a mola em duas partes de tamanhos diferentes, poderíamos simplesmente dividi-la em várias partes iguais (tantas quantas forem necessárias) e, depois, reconstituir os pedaços de tamanhos distintos. (Esse é o "pulo do gato".)
Ou seja, a mola 1 corresponde a uma associação, em série, de p molas de comprimento L/n, e a mola 2, a uma associação de q molas do mesmo tipo.
No entanto, já foi provado que cada mola de comprimento L/n tem constante elástica nk. Portanto, teremos k1 correspondendo à associação de p molas de constante nk, em série:
\\k_1 = k_s \Rightarrow \frac{1}{k_1}= \frac{1}{nk}+...+\frac{1}{nk} \Rightarrow \frac{1}{k_1} =\frac{p}{nk} \\ \therefore {k_1}=\frac{n}{p}k
Mas 
L_1 = \frac{p}{n}\cdot L \therefore \frac{n}{p}= \frac{L}{L_1}
e, portanto, unimos as duas últimas equações:
\boxed{k_1=\frac{L}{L_1}k}
Analogamente,
\boxed{k_2=\frac{L}{L_2}k}
Isolando o produto k.L, concluímos:
\boxed{k_1\cdot L_1 = k_2\cdot L_2=k\cdot L}
conforme queríamos demonstrar.

4. A rigor, falta provar que a proporcionalidade é válida, inclusive, para frações irracionais de L. No entanto, meus conhecimentos não me permitem a tal empreitada, e assim deixo-a em aberto.

Edit: pensando bem, é claro que não faz sentido dividir uma mola segundo uma proporção irracional. Matematicamente, até pode ser interessante buscar essa generalização, mas, fisicamente, é evidente que só medimos números racionais.
Portanto, ainda será engrandecedor se alguém se dispuser a concluir o trabalho, mas eu pessoalmente dou-me por satisfeito.

Uma abordagem mais completa em

https://pir2.forumeiros.com/h69-molas-pag-1

Obrigado, mas em qual página que é?

BatataDoFuturo escreveu:Obrigado, mas em qual página que é?

primeira página: conceito do módulo de Young
segunda página: molas cortadas e associações de molas

não gosta de ler?

Euclides escreveu:Uma abordagem mais completa em

https://pir2.forumeiros.com/h69-molas-pag-1

Muito obrigado, certamente será uma leitura muito rica.