Número de soluções inteiras e positivas

Calcule o número de soluções positivas e inteiras das equações

x1 + x2 = n+1
x1 + x2 = n+2
.
.
.
x1 + x2 = 2n

Em que 1 <= x1, x2 <= n.

Generalize para toda equação da forma x1 + x2 = n+k , para 1 <= k <= n

Pelo que entendi ele quer que resolva as equações separadamente. Seja x1 = a+1 , x2 = b + 1 com a,b inteiros , o problema equivale a calcular o número de soluções inteiras não negativas da equação:
(a+1) + (b+1) = n+1 ∴ a + b = n - 1 , o que pode ser calculado pela fórmula de combinações completas : CR(n,p) = C(n+p-1, p )
CR(2 , (n-1) ) = C(n, 2) , os outros casos resolve de modo análogo..

Oi Luck.

Mas e a restrição 1 <= x1, x2 <= n?

Por exemplo. Temos os números 1, 2, 3 e 4 e que x1 e x2 são dois inteiros entre 1 e 4.

Quero calcular todas as soluções de x1 + x2 = 7
As soluções inteiras positivas seriam :

(6,1) (1,6), (5,2), (2,5), (3,4), (4,3)

Mas, pela nossa restrição, seria somente (3,4) e (4,3), certo?

Não há como generalizar para esse caso?

Notei que para x1 + x2 = i, para i de 1 até n funcionaria bem para o jeito que você fez. se construissemos uma tabela com os valores de i ( 2 <= i <= 2n), ela seria simétrica em relação ao elemento n+1, ficaria espelhada.

Veja para o conjunto que criei acima:

2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | (valores de i)
1 | 2 | 3 | 4 | 3 | 2 | 1 | (numero de soluções positivas, quando temosmamrestrição)

Não consigo generalizar para termos depois do n+1 :/

Giiovanna escreveu:Oi Luck.

Mas e a restrição 1 <= x1, x2 <= n?

Por exemplo. Temos os números 1, 2, 3 e 4 e que x1 e x2 são dois inteiros entre 1 e 4.

Quero calcular todas as soluções de x1 + x2 = 7
As soluções inteiras positivas seriam :

(6,1) (1,6), (5,2), (2,5), (3,4), (4,3)

Mas, pela nossa restrição, seria somente (3,4) e (4,3), certo?

Não há como generalizar para esse caso?

Notei que para x1 + x2 = i, para i de 1 até n funcionaria bem para o jeito que você fez. se construissemos uma tabela com os valores de i ( 2 <= i <= 2n), ela seria simétrica em relação ao elemento n+1, ficaria espelhada.

Veja para o conjunto que criei acima:

2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | (valores de i)
1 | 2 | 3 | 4 | 3 | 2 | 1 | (numero de soluções positivas, quando temosmamrestrição)


Não consigo generalizar para termos depois do n+1 :/

É mesmo, nao dei atenção para a restrição " 1 <= x1, x2 <= n " ,
no primeiro caso nao muda nada pois x1 e x2 é no máximo n+1, para os outros casos a gente deve eliminar as soluções que nao atendem a restrição:
para x1 + x2 = n+ 2 : a+b = n , { ( n+1, 1 ) ; (1, (n+1) ) }--> CR (2,n) - 2
para x1 + x2 = n+ 3 : a+b = n+ 1 , { (n+1,2) ; (2 , n+1 ) ; (1 , n+2) ; (n+2, 1) } --> CR(2,n+1) - 4
para x1 + x2 = n+4 : a+b = n + 2 , { (n+1,3) ; (3 , n+1 ) ; (n+2 , 2) ; (2 , n+2) ; (1, n+3) ; (n+3) , 1 ) } --> CR(2,n+2) - 6
...
x1 + x2 = n + k
entao o número de soluções inteiras da equação a+b = n + k - 2 é CR(2 ,n+k-2) - (2k-2) , deve ser isso... tem o gab?

Oi Luck, sua resolução me parece correta, obrigada pela ajuda.

Infelizmente não tenho o gabarito pois se trata de uma parte de um problema de variáveis aleatórias, em que X é uma v.a tal que x denota a soma dos dois números nas condições que eu citei,p.

E para calcular algumas coisas, eu precisava de um termo geral para a distribuição de X.

Uma das maneiras de verificar se isso está correto seria somar todos os termos de 2 até 2n e verificar se dá n^2. Ou seja, somar todas as soluções x1 + x2 = i tal que i varia de 2 até 2n. Isso tem que dar n^2 (para termos uma função de probabilidade, é uma das condições do problema que não posso colocá-lo inteiramente aqui)

De 2 até n+1, o número de soluções inteiras é (i-1) (pelo que me lembro).

Se quiser conferir, fica aí o resultado esperado. Infelizmente agora não tenho como conferir, mas o farei em breve

Bate mesmo , para verificar pegue qualquer exemplo pequeno, como o que vc postou e utilize a a generalização da fórmula geral..

ótimo luck, obrigada