Canguru Matemático

O número n é o maior número natural tal que 4n é um número de três algarismos e m é o menor número natural tal que 4m é um número de três algarismos. Qual é o valor de
4n-4m?

R: 896

Primeiro, vou encontrar o maior número de três algarismos que é múltiplo de 4.
Para isso, basta lembrar da regra de divisibilidade por 4.

"Regra de divisibilidade por 4: Um número 'n' inteiro de três ou mais dígitos é divisível por 4 se, e somente se, o número formado pelos seus dois últimos dígitos na ordem a[1]a[0] tomando 'n' como
n = a[n]a[n-1]a[n-2]...a[1]a[0] for divisível por 4."

Demonstração: Tomando 'n' na representação decimal, tem-se:
n = a[0] + a[1].10 + a[2].10² + (...) + a[n].(10^n)
Agora, observe que a[0] ≡ a[0] (mód 4), que
10 ≡ 10 (mód 4) => a[1].10 ≡ a[1].10 (mód 4), que 100 ≡ 0 (mód 4) =>
=> a[2].10² ≡ 0 (mód 4), (...), e que 10^n ≡ 0 (mód 4) para n ≥ 2.
Assim: n ≡ a[0] + a[1].10 (mód 4), ou seja, 'n' é divisível por 4 se e somente se o número a[0] + a[1].10 = a[1]a[0] o for.
C.q.d

Assim, é bem fácil encontrar o número 996, pois 96 ≡ 0 (mód 4).

Portanto: 4.n = 996 <=> n = 249.

Agora, vou encontrar o menor número de três algarismos que é múltiplo de 4.
Para isso, vou usar, novamente, a regra enunciada e demonstrada.
Perceba que 100 ≡ 0 (mód 4), pois 4|0, assim:
4.m = 100 <=> m = 25.

Logo: N = 4.n - 4.m = 4.(n - m) => N = 4.(249 - 25) <=>
<=> N = 896.

Muito Obrigadoo