Álgebra Linear - espaços vetoriais

Aí pessoal, tô estudando álgebra linear agora e estou numa parte que tá um pouco confusa, a parte de espaços vetoriais! Um exercício pediu para demonstrar o seguinte teorema:

Sejam W1 e W2 subespaços de um espaço vetorial V , então a soma W1 +W2 = {v = w1 + w2; w1 ∈ W1; w2 ∈ W2} é um subespaço de V .

Eu pensei da seguinte forma, gostaria de saber se está correto ou não (o que é provável!rs)

Vou considerar V = R^n.

Seja w1 ∈ W1, e w1 = (x1, x2, x3, ... , xn)
Seja w2 ∈ W2, e w2 = (y1, y2, y3, ... , yn)

Temos a definição de espaço vetorial que diz que se x,y ∈ V --> (x + y) ∈ V

Temos também o seguinte:

x1 ∈ W1 --> só que W1 ⊂ V --> x1 ∈ V
y1 ∈ W2 --> só que W2 ⊂ V --> y1 ∈ V

Se x1,y1 ∈ V --> (x1 + y1) ∈ V

O mesmo se repete para os outros (n - 1) casos. Portanto:

{v = w1 + w2 = [(x1 + y1), (x2 + y2), ... , (xn + yn)]} ⊂ V


O que acham?