Limites

Galera, quanto vale o limite (x^5 - 32)/(x-2)
Estou com muita dúvida em relação ao seguinte.... -2 pode ou não ser uma raíz também de x^5-32? Pois, se eu tiver quatro raízes -2 e uma 2 eu ainda terei 32... To confundindo algo?
Obrigado.

Acho que você quis dizer: lim(x->2) (x^5 - 32)/(x - 2), não ?

Basta notar que P(x) = x^5 - 32 possui a raiz real 2.
A partir disso, você pode fatorar P(x) dividindo-o por (x - 2).
Ao final desse processo,obtém-se:
P(x) = (x - 2).(x^4 + 2.(x^3) + 4.x² + 8.x + 16)

Assim, M(x) = (x - 2) divide P(x) e o quociente é
Q(x) = x^4 + 2.(x^3) + 4.x² + 8.x + 16

Assim, elimina-se a indeterminação.
Agora é só terminar:
lim(x->2) (x^5 - 32)/(x - 2) =
lim(x->2) (x^4 + 2.(x^3) + 4.x² + 8.x + 16) = 80

É... eu fiz por Briott Ruffini..(assim que se escreve)? Mas eu não consegui encontrar com esses coeficientes...devo ter feito errado, irei refazê-lo... Só me tira uma dúvida... conhecendo somente a função x^5 eu posso falar que 2 e -2 são raízes? Porque (-2).(-2).2.2.2=32... Ao mesmo tempo que se eu tiver quatro raízes (-2) eu tenho 32 como resposta... fiquei mto confuso nisso... eu tenho de, obrigatoriamente, determinar as raízes pelo dispositivo de Ruffini?
Abraços!

Você diz na hora de encontrar as raízes de P(x) = x^5 - 32 ?

Resolvendo a equação para o conjunto real você encontra facilmente a raiz 2.

A partir daqui, você pode fatorar P(x) dividindo-o por M(x) = x - 2 e, para tal, você pode usar tanto a divisão de polinômios por chaves quanto o' Algoritmo de Briot-Ruffini'.

Ao final do processo de divisão, você encontra:
P(x) = (x - 2).(x^4 + 2.(x^3) + 4.x² + 8.x + 16), conforme eu disse na outra mensagem.

Chamemos (x^4 + 2.(x^3) + 4.x² + 8.x + 16) de Q(x):
Q(x) = x.(x³ + 2.x² + 4.x + 8) + 16<=>

Chamemos (x³ + 2.x² + 4.x + 8) de T(x).
Pelo teorema das raízes racionais você encontra facilmente a raiz -2.
Dividindo, então, T(x) por (x + 2) para fatorar, vem:
T(x) = (x + 2).(x² + 4).

Substituindo T(x) em Q(x), vem:
Q(x) = x.(x + 2).(x² + 4) + 16

Utilizando-se de fatorações, vem:
Q(x) = -[x².(x + V5 - 1)² - 16] <=>
<=> Q(x) = (x² + (1 - V5).x + 4).(x² + (1 + V5).x + 4)

Substituindo Q(x) em P(x), vem:
P(x) = (x - 2).(x² + (1 - V5).x + 4).(x² + (1 + V5).x + 4)

Resolvendo as duas equações do 2º grau você encontra as outras quatro raízes de P(x).