Prova Cederj Matemática Discreta

Boa tarde nobres amigos!

No RJ existe faculdade á distancia de matemática pelo consórcio CEDERJ. A matemática tem coordenação e responsabilidade da UFF, universidade federal fluminense, da cidade de Niterói.

É A PIOR FACULDADE FEDERAL SEGURAMENTE DO RIO DE JANEIRO E QUEM SABE DO BRASIL.

Não digo nem em estrutura física e sim pedagógica, humana e social. Os professores de lá pensam que são deuses ou semi-deuses, inatingíveis a erros. Seres perfeitos e Onipotentes. E se tiver um aluno sequer que aponte algum erro que seja, está sentenciado com suas Iras.

Vou abaixo, copiar a ultima prova que tange sobre arranjo, permutação e combinação, após minhas observações e digam por vocês mesmos SE HÁ ERRO OU NÃO NA ELABORAÇÃO E GABARITO DA PROVA DESTES DEUSES DA MATEMÁTICA!


1. De quantas maneiras:
(a) (1,0) seis carros podem ser estacionados em seis vagas enfileiradas?
(b) (1,5) seis carros podem ser estacionados em doze vagas enfileiradas?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Resolucao da Questao 1:
(a) Observe que cada maneira de estacionar os seis carros em seis vagas enfileiradas
corresponde a uma permutacao dos seis carros.
Assim, o numero procurado e P(6) = 6! = 720.

(b) Para estacionar os seis carros, c1; c2; c3; c4; c5; c6, nas doze vagas enfileiradas, podemos fazer seis escolhas:

e1 : escolher uma vaga para estacionar o carro c1
e2 : escolher uma vaga ainda nao escolhida para estacionar o carro c2
e3 : escolher uma vaga ainda nao escolhida para estacionar o carro c3
...
e6 : escolher uma vaga ainda n~ao escolhida para estacionar o carro c6
Temos que:
#e1 = 12
#e2 = 11
#e3 = 10
#e4 = 9
#e5 = 8
#e6 = 7
Assim, pelo PM, o numero procurado e 12  x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 = 665.280.

2. Quantos numerais:
(a) (2,0) de seis algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8, 9, de maneira que os algarismos 1 e 2 nao ocorram consecutivamente,
ou seja, um seguido do outro, em qualquer ordem?

(b) (1,5) podem ser formados se utilizamos todos os algarismos 1; 1; 1, 1, 1, 2, 2, 2?
Por exemplo, so estamos considerando numerais como 11111222, 21212111, etc.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Resolucao da Questao 2:

(a) Considere o conjunto N dos numerais de seis algarismos distintos, formados com
os algarismos 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 particionado nos seguintes conjuntos:

X = {x ∈ N : x possui ocorrencias consecutivas de 1 e 2, nesta ordem}
Y = {x ∈ N : x possui ocorrencias consecutivas de 2 e 1, nesta ordem}
Z = {x ∈ N : x nao possui ocorrencias consecutivas de 1 e 2}

Queremos determinar n(Z).

Pelo PA, temos que n(N) = n(X) + n(Y ) + n(Z), assim se determinamos n(N),
n(X) e n(Y ), o problema esta resolvido.

Determinando n(N): Para formar um elemento d1d2d3d4d5d6 de N, podemos fazer
seis escolhas:
e1 : escolher um algarismo para ser d1
e2 : escolher um algarismo ainda nao escolhido para ser d2
e3 : escolher um algarismo ainda nao escolhido para ser d3
e4 : escolher um algarismo ainda nao escolhido para ser d4
e5 : escolher um algarismo ainda nao escolhido para ser d5
e6 : escolher um algarismo ainda nao escolhido para ser d6
Temos que:
#e1 = 9
#e2 = 8
#e3 = 7
#e4 = 6
#e5 = 5
#e6 = 4
Assim, pelo PM, o n(N) = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 = 60.480.

Determinando n(X): Cada elemento de X pode ser visto como um numeral formado
por cinco \algarismos" distintos escolhidos dentre os "algarismos" 12, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9 (o numeral 12, com 1 seguido do 2, nesta ordem, e visto como um unico algarismo),
contendo obrigatoriamente uma ocorrencia do "algarismo" 12.

Assim, para formar um elemento p1p2p3p4p5 de X, podemos fazer cinco escolhas:
e1 : escolher uma "posicao" pi para ser ocupada pelo 12
e2 : escolher um "numeral" ainda n~ao escolhido para ocupar
uma das posicoes ainda n~ao ocupadas
e3 : escolher um "numeral" ainda nao escolhido para ocupar
uma das posicoes ainda nao ocupadas
...
e5 : escolher um "numeral" ainda nao escolhido para ocupar
a ultima posicao ainda nao ocupada
Temos que:
#e1 = 5
#e2 = 7
#e3 = 6
#e4 = 5
#e5 = 4
Assim, pelo PM, n(X) = 5 x 7 x 6 x 5 x 4 = 4:200.

Determinando n(Y ): Observe que existe uma bijecao "natural" entre X e Y .
De fato, a cada elemento x ∈ N corresponde o numeral formado pelos mesmos
algarismos que ocorrem em x, na mesma ordem em que eles ocorrem em x, exceto
pela ocorrencia de 12 que e reescrita como 21.

Assim, pelo PB, n(Y ) = n(X) = 4:200.

Determinando n(Z): Finalmente, pelo PA, temos que n(Z) = n(N)-n(X)-n(Y ) =
60:480 - 4:200 - 4:200 = 52:080.

(b) Para formar um numeral utilizando todos os algarismos 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2,
podemos efetuar duas tarefas:

t1 : dispor os algarismos 1, 1, 1, 1, 1, formando o numeral 11111
considerando os 6 espaços em branco antes, entre e depois dos díigitos 1
t2 : escolher 3 espaços em branco para alocar os algarismos 2, 2, 2
Temos que:
#t1 = 1
#t2 = C(6; 3)
Assim, pelo PM, o numero procurado e 1  C(6; 3) = C(6; 3) =
6 x 5 x 4/3 X 2 = 20.

3. Dispomos de 10 rapazes e 10 moças.
(a) (0,5) De quantas maneiras podemos escolher um rapaz ou uma moca?

(b) (0,5) De quantas maneiras podemos escolher um rapaz e uma moca?

(c) (1,5) De quantas maneiras podemos associar os rapazes com as mocas de modo
a formar pares para iniciar a danca de uma valsa em uma festa de 15 anos, se a
ordem em que os casais estao dispostos inicialmente e relevante?

(d) (1,5) De quantas maneiras podemos associar os rapazes com as mocas de modo
a formar pares para iniciar a danca de uma valsa em uma festa de 15 anos, se a
ordem em que os casais estao dispostos inicialmente nao e relevante?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Resoluc~o da Questao 3:
(a) De acordo com o PA, temos que o numero procurado e 10 + 10 = 20.

(b) De acordo com o PM, temos que o numero procurado e 10 x 10 = 100.

(c) Cada maneira de associar os rapazes com as moças de modo a formar pares
para iniciar a dança da valsa, quando a ordem em que os casais estao dispostos
inicialmente e relevante, pode ser obtida pela execucao de 11 tarefas:

t1 : escolher uma ordem r1r2 : : : r10 para os rapazes
t2 : escolher uma moca para formar par com o rapaz r1
t3 : escolher uma moca ainda nao escolhida para formar par com o rapaz r2
t4 : escolher uma moca ainda nao escolhida para formar par com o rapaz r3
...
t11 : escolher uma moca ainda nao escolhida para formar par com o rapaz r10
Temos que:
#t1 = 10!
#t2 = 10
#t3 = 9
#t4 = 8
#t5 = 7
#t6 = 6
#t7 = 5
#t8 = 4
#t9 = 3
#t10 = 2
#t11 = 1

Assim, pelo PM, o numero procurado e 10!10987654321 =
10!  x10! = 13:168:189:440:000.

(d) Cada maneira de associar os rapazes com as mocas de modo a formar pares
para iniciar a danca da valsa, quando a ordem em que os casais estao dispostos

inicialmente n~ao e relevante, pode ser feita obtida pela execucao de 11 tarefas:

t1 : atribuir rotulos r1, r2, . . . , r12 para os rapazes
t2 : escolher uma moca para formar par com o rapaz r1
t3 : escolher uma moca ainda nao escolhida para formar par com o rapaz r2
t4 : escolher uma moca ainda nao escolhida para formar par com o rapaz r3
...
t11 : escolher uma moca ainda nao escolhida para formar par com o rapaz r10
Como a ordem em que os casais estao dispostos nao e relevante, a ordem entre os
rotulos nao e levada em conta.
Assim, temos que:
#t1 = 1
#t2 = 10
#t3 = 9
#t4 = 8
#t5 = 7
#t6 = 6
#t7 = 5
#t8 = 4
#t9 = 3
#t10 = 2
#t11 = 1

Assim, pelo PM, o numero procurado e 10987654321 = 10! =
3:628:800.


As observações são:

1) letra A: Se os 6 carros podiam ser estacionados em 6 vagas e não havia nenhuma RESTRIÇÃO, ou seja, eles podiam se repetir, por que não é aceito, foi feito com arranjo de 6 elevado a 6? 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1, são quando elaborador usa palavra DISTINTO, ou seja, seriam 6 carros de formas distintas.

Letra B: Mesmo argumento da letra acima, gerando resposta 6 elevado a 12.

Número 2 letra A) Na parte da resolução determinando n(X), foi calculado p1p2p3p4p5, ENTRETANTO o problema foi pedido 6 algarismos distintos, fazendo p1p2p3p4p5 SÓ CALCULA 5 ALGARISMOS.

Também pergunto, qual origem do e1 posição pi ser igual a 5?

12 sendo letra unica, teríamos 8 algarismo, da original 9. 12 em qualquer ordem ocuparia 2! 7 x 6 x 5 x 4 x 3 ( 6 algarismos distintos).

Ressalto ainda, que na prova não multipliquei por 2 ou fatorial, pois examinador deixo a questão com dubiedade.

Se o examinador tivesse colocado somente: "1 e 2 não ocorram consecutivamente em qualquer ordem". Se claro, direto e objetivo. Porém, inseriu gramaticalmente um "ou seja, um seguido do outro", desta maneira, deu a entender na minha opinião que queria algarismo 12 e não 12 e 21! Se também é possível calcular eles de forma separadas, ou seja, calcular 12 como se fosse um só algarismo e também 21 como se fossem um só algarismo, me deixou com dúvidas e creio que objetivo da prova é testar conhecimento, diante deste fato, peço que considere esta minha dúvida na prova antecipadamente.

2 letra b) Esta questão em tese, até um outro colega já postou a mesma dúvida. Pelo gabarito 20 maneiras não é a verdade absoluta. Fazendo, manualmente é possível chegar a mais de 20 resultados, eu cheguei em 56. Ora, se eu consegui em 56, no gabarito passou uma informação mentirosa, informação falsa. Pelo gabarito foi feito de combinação de espaço em branco. Normalmente, outros professores utilizando espaço em branco, chamam de separadores quando tem problemas que tem sinal de adição ou subtração. Ex: a + b + c=5, quantas soluções inteiras não negativas?

No caso em tese, se chamarmos 11111 222 de bolinhas, teríamos 8 bolinhas. 5 bolinhas numero 1 e 3 bolinhas numero 2, fazendo permutação com repetição n=8 x=5 e y=3 , resultando 8!/5!3!=56

Olá:
Só tem razão na questão 2.(b).Se a pergunta foi formulada desse modo, então teríamos de facto 8!/5!3! modos.
Um abraço.