Utilize a Regra de L'Hôpital

Utilize a Regra de L'Hôpital para calcular o seguinte limite:

Lim
x→- ∞
2 – 2 cos ( 1/x )
――――――――
cos ( 2/x ) - 1

Pelo que estou vendo você quer:
Lim 2 - 2*cos(1/x)/(cos ( 2/x ) - 1)
x-->- ∞

A derivada do numerador(2 – 2 cos ( 1/x ) é, pela regra da cadeia:(irei usar ' como derivada em relação a x)

-2*d cos(1/x) * (1/x)' =- 2 sen(1/x)/ (x^2)
d (1/x)

Para o Denominador:

d cos(2/x) * (2/x)' = 2*sen(2/x)/(x^2)
d (2/x)

O limite será:

Lim - 2 sen(1/x)/ (x^2) /(2*sen(2/x)/(x^2)) =
x-->- ∞

Lim
x-->- ∞ - 2 sen(1/x)/ (x^2) * (x^2)/2*sen(2/x) =


Lim - sen(1/x)/sen(2/x)
x-->- ∞
que continua a ser um limite indeterminado da forma (0/0)
Aplicando o teorema mais uma vez:
-(-cos(x^(-1))) / x²) / ( (--cos(x^(-1)))) / x²) =
=-cos(x^(-1))/(cos(x^(-1)))
no limite tanto 1/x, quanto 2/x, tendem a 0, e seu cosseno a 1, portanto:

Lim 2 - 2*cos(1/x)/(cos ( 2/x ) - 1) = -1/2
x-->- ∞
Também poderíamos pegar:
sen(2/x)= 2*sen(1/x)*cos(1/x), e ficando com:

Lim - sen(1/x)/2*sen(1/x)*cos(1/x)= -1/2
x-->- ∞