Questão da petrobras - Exercício sobre reta.

Um quadrado ABCD, de diagonais AC e BD, tem o lado BC sobre a reta de equação x + 2y = 4 e o vértice A com as coordenadas (5, 4). Determine as coordenadas do vértice B.



Alguém pode me dar pelo menos uma luz de como começar?

Uma luz de como fazer:
Primeiro transforme essa equação em uma forma funcional de x (y=2-x/2) na minha opinião é sempre melhor tratar de funções. Depois ache uma equação de reta perpendicular a reta dada que vá até o ponto A indicado.(lembre que o coeficiente angular dessa reta deve ser 2, pelas propriedades desse conteúdo, passando pelo ponto (5,4)). Esta reta representará o seguimento BA. Sendo assim o ponto de concorrência entre as duas será o ponto a ser determinado.(basta igualar as equações para obter x e sucessivamente y)

Bom dia Matheus, obrigado pela ajuda!

Eu fiz um desenho para ver se é isso msm que eu entendi.

Como o POnto A é perpendicular a reta BC devemos achar essa equação? que compreende o seguimento AB?

Isso mesmo. É uma maneira de proceder que eu particularmente acho elegante.
A eq funcional da reta: BC y=2-x/2

A reta BA : y'=aX+B
determinemos A E B. A será o menos inverso do termo que acompanha X da outra equação(condição de perpendicularidade).
A=2
Agora usamos o ponto (5, 4) para achar B:

4=2x+b= 10=B ----> B=-6

ficamos com
y'= 2X-6

A intercessão será o ponto onde X e y satisfazem Às duas equações simultaneamente. A vantagem do uso de funções vem agora, ao invés de resolver o sistema para a eq das retas, igualemos y' com y, desta forma teremos so um y, e acharemos o x:

2x-6=2-x/2

O que dá:
X=16/5

Substituindo em qualquer uma das duas:
Y=2/5

B: (16/5 ; 2/5) = (3,2 ; 0,4)

Blz?

Eu não to lembrado da condição de perpendicularidade, será q teria como vc me mostrar como achou o coeficiente angular?


Tb não ficou claro para mim como vc acho a reta AB, pq aki pra mim eu fiz e ficou : 2y= 4-x -> y= 4-x/2

E simplificando isso temos: y=4-x

Falando de funções, sejam Y' e Y" duas funções sobre a variável definidas na forma:
Y'=ax+b
Y"=dx+c

Os coeficientes a e d (que acompanham x) são chamados de coeficientes angulares pois são eles que determinam o a inclinação da reta da função correspondente.(eles são a tangente do angulo da função com o eixo x para ser mais preciso.
Para que Y e Y" sejam perpendiculares,(angulo de 90°), basta que seus coeficientes satisdassem a relação:
a=-1/d
ou seja, um deve ser menos o inverso do outro.
Para achar a equação de reta AB você tem que satisfazer às condições de que ela passe pelo ponto (5, 4) o que determina o B, como no caso de Y'. E que ela seja perpendicular a
y=2-x/2
ou seja seu coeficiente angular deve ser 2, como foi posto acima.

Acho que agora entendi, é pq acho q tava fazendo o cálculo errado.

Veja se é isso:




Tira o mmc é fica isso:




Ai como o coeficiente é oq acompanha o termo x ele fica sendo -x/2.

Ai usando perpendicularidade que é o inverso, obtemos o 2 como coeficiente.


Na reta AB vc tá usando a equação reduzida certo?

O certo não seria usar aquela equação fundamental da reta para achar.

Quase. Sò que a equação é y=2-x/2. Dai você tira a perpendicular com A=2.

Matheus Fillipe escreveu:Quase. Sò que a equação é y=2-x/2. Dai você tira a perpendicular com A=2.

É verdade confundi o sinal.


Na reta AB vc tá usando a equação reduzida certo?

O certo não seria usar aquela equação fundamental da reta para achar.

O certo?....SIM. O prático?....Não. Na verdade da na mesma. Se você encontrar livros sobre o livro com uma equação da reta da forma:
ax+by+c=0

O coeficiente angular que eles usaram será -a/b(que seria o m). Ora, esse é o mesmo a que temos na forma funcional: y=ax+b. As vantagens são que funções são geralmente mais familiares e fica bem melhor para resolver o sistema no final. Mas você poderia proceder usando digamos um conjunto de regras das equações da reta. Condição de perpendicularidade: Dada as retas:
Ax+by+c=0 e dx+ey+g=0

Serão perpendiculares se: A/b=-e/d. ou seja o m de uma é menos o inverso do "m" da outra.
Seriam processos equivalentes só que na minha opinião a análise por funções de primeiro grau facilita.