Calculo IV - Equações diferenciais (3)

por Palloma Iânes Ter 14 maio 2013, 02:03

Considere a equação: xy'+3y=7x³, sabendo que y(0)=1. Calcule o valor de y(1).

por **aryleudo** Seg 01 Jul 2013, 22:07

Palloma Iânes escreveu:Considere a equação: xy'+3y=7x³, sabendo que y(0)=1. Calcule o valor de y(1).

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Temos uma EDO Linear de Primeira Ordem.

$\\x\frac{\mathrm{dy} }{\mathrm{d} x}+3y = 7x^3 \hspace{10} \text{Dividindo tudo por x}\\\\ \frac{\mathrm{dy} }{\mathrm{d} x}+\frac{3}{x}y = 7x^2 \hspace{10} \text{Encontrando o fator de integracao}\hspace{5} e^{\int \frac{3}{x}dx}= e^{3lnx} = x^3 \\\\ x^3\frac{\mathrm{dy} }{\mathrm{d} x}+3x^2y = 7x^5 \\\\ \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(x^3y) = 7x^5 \\\\ d(x^3y)=7x^5dx \hspace{10} \text{Integrando ambos os lados}\\\\ \int d(x^3y)= \int7x^5dx \\\\ \boxed{x^3y = \frac{7x^6}{6}+C}$

Encontrando a constante de integração (C):
$0^3y(0) = \frac{7\cdot 0^6}{6}+C\Rightarrow \boxed{C = 0}$

Encontrando y(1):
$x^3y(x) = \frac{7 x^6}{6} \Rightarrow \boxed{y(x) = \frac{7 x^3}{6}}$

$y(1) = \frac{7 \cdot 1^3}{6}\Rightarrow \boxed{y(1) = \frac{7 }{6}}$

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