Prove
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Prove
por Chronoss Sáb 20 Abr 2013, 15:28
Sejam a, b ,c números reais positivos distintos dois a dois tais que a² + b² - ab = c² .
Prove que o produto ( a - c)( b - c) é negativo
Prove que o produto ( a - c)( b - c) é negativo
Chronoss- Jedi
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Re: Prove
por Luck Dom 21 Abr 2013, 22:53
a² + b² - ab = c²
a² - c² + b² - ab = 0
(a-c)(a+c) + b(b-a) = 0
(a-c)(a+c) = b(a-b) (I)
a² -ab + b² - c² = 0
a(a-b) + (b-c)(b+c) = 0
(b-c)(b+c) = -a(a-b) (II)
(I)*(II):
(a-c)(b-c)(a+c)(b+c) = -ab(a-b)²
(a-c)(b-c) = -ab(a-b)²/(a+c)(b+c)
(a+c)(b+c) e ab são positivos pois a,b,c são reais positivos, e (a-b)² é positivo pois é quadrado perfeito, logo o produto (a-c)(b-c) é negativo c.q.d
a² - c² + b² - ab = 0
(a-c)(a+c) + b(b-a) = 0
(a-c)(a+c) = b(a-b) (I)
a² -ab + b² - c² = 0
a(a-b) + (b-c)(b+c) = 0
(b-c)(b+c) = -a(a-b) (II)
(I)*(II):
(a-c)(b-c)(a+c)(b+c) = -ab(a-b)²
(a-c)(b-c) = -ab(a-b)²/(a+c)(b+c)
(a+c)(b+c) e ab são positivos pois a,b,c são reais positivos, e (a-b)² é positivo pois é quadrado perfeito, logo o produto (a-c)(b-c) é negativo c.q.d
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Re: Prove
por Chronoss Seg 22 Abr 2013, 00:03
Bela demostração , eu até tinha começado a tentar desenvolver uma baseada em desigualdades só que fugia ao assunto do capítulo e era demorada , quando conseguir estrutura-la posto aqui. Obrigado pela ajuda.
Chronoss- Jedi
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