Prove

por **fantecele** Dom 16 Abr 2017, 09:27

Fazendo 2∏/7 = "theta"
$cos(\frac{2\pi}{7})+cos(\frac{4\pi}{7})+cos(\frac{6\pi}{7})=cos(\theta)+cos(2\theta)+cos(3\theta)$
Lembrando que:
$cos(\theta)=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$
Com isso ficamos com:
$\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}+\frac{e^{2i\theta}+e^{-2i\theta}}{2}+\frac{e^{3i\theta}+e^{-3i\theta}}{2}$
$\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}+e^{2i\theta}+e^{-2i\theta}+e^{3i\theta}+e^{-3i\theta}}{2}\\\text{Somando e subtraindo 1:}\\\frac{e^{3i\theta}+e^{2i\theta}+e^{i\theta}+1+e^{-i\theta}+e^{-2i\theta}+e^{-3i\theta}-1}{2}=\frac{-1}{2}$

por **fantecele** Dom 16 Abr 2017, 09:41

Uma outra forma de fazer:
3β + 4β = 2k∏
Com β = 2∏/7, 4∏/7, 6∏/7
Dessa forma cos(3β)=cos(4β)
Desenvolvendo a expressão acima iremos encontrar:
$8cos^4\beta-4cos^3\beta-8cos^2\beta+3cos\beta+1=0\\(cos\beta-1)(8cos^3\beta+4cos^2\beta-4cos\beta-1)=0$
Dessa forma cosseno de 2∏/7, 4∏/7, 6∏/7 são raízes da equação:
$8cos^3\beta+4cos^2\beta-4cos\beta-1)=0$
E por Girard iremos encontrar a soma igual a -1/2.

por Convidado Dom 16 Abr 2017, 09:49

Isso aí.
Eu tinha visto numa revista de matemática a transformação de equações trigonométricas para equações algébricas, só que não lembrava a ideia do caso.
Valeu!

por Convidado Dom 16 Abr 2017, 09:55

Outra forma é multiplicar o numerador e o denominador por 2sin(pi/7).
Fazendo
[2cos(2pi/7)sin(pi/7)+2sin(pi/7)cos(4pi/7)+2sin(pi/7)cos(6pi/7)]/(2sin(pi/7))
=[sin(3pi/7)-sin(3pi/7)-sin(pi/7)+sin(5pi/7)-sin(5pi/7)]/2sin(pi/7)=-1/2

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